Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

µ.
P
ν, τ
ν
, T (X
(τ
ν
)
)
, ν,
τ
ν
T (X
(τ
ν
)
).
P = {P ( ·|θ), θ ∈ Θ},
k
P ( ·|θ)
p (x |θ) = C( θ ) exp
"
k
X
i=1
Q
i
( θ ) T
i
(x)
#
h(x) (2.2)
µ.
Q
i
C
T
i
P ( ·|θ) n
θ,
k < n
P = {P ( ·|θ), θ ∈ Θ}.
ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå      µ.
    Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû äëÿ ñëó÷àÿ ïðîñòîãî ñëó÷àéíîãî âûáîðà
èç äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ áûëî äàíî â îáùåì êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîé
ñòàòèñòèêè. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñåìåéñòâ ðàñïðå-
äåëåíèé äîñòàòî÷íî ñëîæíî è ïðèâîäèòñÿ â ó÷åáíèêå À.À. Áîðîâêîâà Ìà-
òåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, Ì.: Íàóêà, 1984, ñ. 431-434.
    Îäíî ñóùåñòâåííîå çàìå÷àíèå ê ýòîé òåîðåìå. Åñëè P  ñòàòèñòè÷åñêàÿ
ìîäåëü ñ óïðàâëåíèåì íàáëþäåíèÿìè, äëÿ êîòîðîé èìååò ìåñòî ôàêòî-
ðèçàöèîííîå òîæäåñòâî (2.1), òî äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé áóäåò òðèïëåò
    ν, τν , T (X(τν ) ) , ñîñòîÿùèé èç ìîìåíòà îñòàíîâêè ν, óïðàâëÿþùåé ïåðå-
                       

ìåííîé τν è ñòàòèñòèêè T (X(τν ) ).
    Ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåðû ñåìåéñòâ ðàñïðåäåëåíèé, îáëàäàþùèõ äîñòà-
òî÷íûìè ñòàòèñòèêàìè, áûëè äàíû â îáùåì êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòè-
ñòèêè. Âñå îíè ïðèíàäëåæàëè îäíîìó çàìå÷àòåëüíîìó êëàññó ñåìåéñòâ, êî-
òîðîå èìååò ñëåäóþùèé âèä.
    Îïðåäåëåíèå 2.2.      Ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé P = {P ( · | θ), θ ∈ Θ},
îáðàçóåò k -ïàðàìåòðè÷åñêîå ýêñïîíåíöèàëüíîå ñåìåéñòâî, åñëè ðàñïðåäå-
ëåíèÿ P ( · | θ) èìåþò ïëîòíîñòè âèäà
                                           "   k
                                                                       #
                                               X
                  p (x | θ) = C( θ ) exp             Qi ( θ ) Ti (x)       h(x)   (2.2)
                                               i=1

îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îáùåé ìåðû µ.
     ïðåäñòàâëåíèè (2.2) Qi è C ñóòü âåùåñòâåííîçíà÷íûå ôóíêöèè îò
ïàðàìåòðîâ, Ti  âåùåñòâåííîçíà÷íûå ñòàòèñòèêè.
    Ê ýêñïîíåíöèàëüíûì ñåìåéñòâàì ïðèíàäëåæàò òàêèå ðàñïðåäåëåíèÿ, êàê
áèíîìèàëüíîå, ïóàññîíîâñêîå, ìóëüòèíîìèàëüíîå, íîðìàëüíîå (âêëþ÷àÿ
ìíîãîìåðíîå), ãàììà è ðÿä äðóãèõ. Èçâåñòåí òàêæå ñëåäóþùèé çàìå÷àòåëü-
íûé ðåçóëüòàò, ïðèíàäëåæàùèé Êóïìàíó è Äàðìóà: åñëè íîñèòåëü ðàñïðå-
äåëåíèÿ P ( · | θ) ñëó÷àéíîé âûáîðêè ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà n íå çàâèñèò
îò θ, òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ðåãóëÿðíîñòè ñóùåñòâîâàíèå äîñòàòî÷-
íîé ñòàòèñòèêè ðàçìåðíîñòè k < n âëå÷åò ýêñïîíåíöèàëüíîñòü ñåìåéñòâà
P = {P ( · | θ), θ ∈ Θ}. Ïðèìåð ñåìåéñòâà, êîòîðîå îáëàäàåò äîñòàòî÷íîé
ñòàòèñòèêîé, íî íå ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì,  ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé

                                               21

Страницы