Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
( θ
1
, θ
2
)
(X
(1)
, X
(n)
),
P
n
1
X
k
θ.
P
m
1
X
k
,
P
n
m+1
X
k
T T = h(S), S
S T. T
S, h
T S
T
S h,
T = h( S ).
P
P p
0
, p
1
,
. . . , p
m
, m
T (X) =
p
1
(X)
p
0
(X)
, . . . ,
p
m
(X)
p
0
(X)
T
2
P
P
0
P. T
ñëó÷àéíîé âûáîðêè ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà n èç ðàâíîìåðíîãî íà èíòåð-
âàëå ( θ1 , θ2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò äâóìåðíàÿ äîñòà-
òî÷íàÿ ñòàòèñòèêà (X(1) , X(n) ),  êðàéíèå ÷ëåíû âàðèàöèîííîãî ðÿäà.
   Êðèòåðèé ôàêòîðèçàöèè (2.1) íåîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò äîñòàòî÷íóþ ñòà-
                           Pn
òèñòèêó. Íàïðèìåð,      Xk  äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà ïðè âûáîðå â ñõåìå
                             1
Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ θ. Èç ïðåäñòàâëåíèÿ (2.1)
                                   Pm        Pn
ñëåäóåò, ÷òî äâóìåðíàÿ ñòàòèñòèêà                      áóäåò òàêæå äîñòà-
                                                     
                                     1 X k ,  m+1 Xk
òî÷íîé, íî ýòà ñòàòèñòèêà îñóùåñòâëÿåò ìåíüøóþ ðåäóêöèþ äàííûõ. Áîëåå
îáùî, åñëè T äîñòàòî÷íà è T = h(S), òî S òàêæå äîñòàòî÷íà,  çíàíèå çíà-
÷åíèÿ S âëå÷åò çíàíèå T. Êðîìå òîãî, T îáåñïå÷èâàåò á
                                                     îëüøóþ ðåäóêöèþ
äàííûõ, ÷åì S, åñëè òîëüêî h íå åñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, è
òîãäà T è S ýêâèâàëåíòû ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîñòóïàþùåé èç íàáëþäåíèé èí-
ôîðìàöèè. Åñòåñòâåííî, ñðåäè âñåõ äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèê ïðåäïî÷òåíèå
äîëæíî îòäàâàòüñÿ òîé, êîòîðàÿ îñóùåñòâëÿåò íàèáîëåå ïîëíóþ ðåäóêöèþ
äàííûõ.

   Îïðåäåëåíèå 2.3.          Äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà T íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëü-
íîé, åñëè äëÿ ëþáîé äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè S ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ h,
òàêàÿ, ÷òî T = h( S ).
   Îáû÷íî íàéòè ìèíèìàëüíóþ äîñòàòî÷íóþ ñòàòèñòèêó äîâîëüíî ëåãêî,
åñëè âñå ðàñïðåäåëåíèÿ èç ñåìåéñòâà P èìåþò îáùèé íîñèòåëü. Ìåòîä åå
ïîñòðîåíèÿ óêàçûâàþò ñëåäóþùèå ïðîñòî óñòàíàâëèâàåìûå óòâåðæäåíèÿ.

   Ïðåäëîæåíèå 2.1. Ïóñòü P  êîíå÷íîå ñåìåéñòâî ñ ïëîòíîñòÿìè                    p 0, p 1,
. . . , p m,   èìþùèìè îäèí è òîò æå íîñèòåëü. Òîãäà               m -ìåðíàÿ   ñòàòèñòèêà

îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ
                                                                  
                                           p 1 (X)       p m (X)
                            T (X) =                ,...,
                                           p 0 (X)       p 0 (X)
áóäåò ìèíèìàëüíîé äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé.


   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç ôàêòîðèçîâàöèîííîãî òîæäåñòâà (2.1) ñëåäóåò,
÷òî T åñòü ôóíêöèÿ ëþáîé äðóãîé äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè è, ñëåäîâàòåëü-
íî, ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé.                  2
   Ïðåäëîæåíèå 2.2. Ïóñòü P  ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé ñ îáùèì íî-
ñèòåëåì è        P0    ïîäñåìåéñòâî   P.      Åñëè   T   åñòü ìèíèìàëüíàÿ äîñòàòî÷íàÿ


                                                22

Страницы