Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
T σ A
T
⊂ A,
T θ (∈ Θ).
ϕ
d
= ϕ
d
(D |X), D ∈ C,
(D, C). P
T, ˜ϕ
d
= ˜ϕ
d
(D |T ),
D ∈ C,
T
{Ψ( ·|θ), θ ∈ Θ} ϕ
d
.
˜ϕ
d
ϕ
d
T :
˜ϕ
d
(D |T (X)) = E {ϕ
d
(D |X) |T (X) }.
[ 0, 1 ] ϕ
d
T,
˜ϕ
d
θ.
˜
Ψ( ·|θ) = E
θ
˜ϕ
d
( ·|T (X)) =
E
θ
[ E {ϕ
d
( ·|X) |T (X) }] = E
θ
ϕ
d
( ·|X) = Ψ( ·|θ)
2
ϕ
d
˜ϕ
d
θ λ d
T
P, σ µ,
g
θ
h,
p (x |θ)
p (x |θ) = g
θ
( T ( x ) ) h(x) (2.1)
åñëè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âûáîðêè X îòíîñèòåëüíî ñòàòè-
ñòèêè T (òî÷íåå, îòíîñèòåëüíî σ -ïîäàëãåáðû AT ⊂ A, ïîðîæäåííîé ñòà-
òèñòèêîé T ) íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà θ (∈ Θ).
  Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü          ϕd = ϕd (D | X), D ∈ C,            íåêîòîðîå ïðàâèëî ïðè-

íÿòèÿ ðåøåíèÿ â ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîáëåìå ñ èçìåðèìûì ïðîñòðàíñòâîì

ðåøåíèé (D, C). Åñëè ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü P îáëàäàåò äîñòàòî÷íîé ñòà-
òèñòèêîé T, òî ñóùåñòâóåò ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ϕ̃d = ϕ̃d (D | T ),

D ∈ C, çàâèñÿùåå îò âûáîðî÷íûõ äàííûõ òîëüêî ÷åðåç çíà÷åíèå ñòàòè-
ñòèêè    T è èìåþùåå òîò æå îáðàç (ðàñïðåäåëåíèå                   ðåøàþùåé ôóíêöèè)

{Ψ( · | θ), θ ∈ Θ} , ÷òî è ïðàâèëî ϕd .
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Óêàçàííîå â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû ïðàâèëî ϕ̃d íà-
õîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ âû÷èñëåíèÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ϕd
îòíîñèòåëüíî ñòàòèñòèêè T :

                       ϕ̃d (D | T (X)) = E { ϕd (D | X) | T (X) } .

Ýòî äåéñòâèòåëüíî ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, ïîñêîëüêó óñðåäíåíèå íå
èçìåíÿåò îáëàñòü çíà÷åíèé [ 0, 1 ] ïðàâèëà ϕd è, â ñèëó äîñòî÷íîñòè T,
ïðàâèëî ϕ̃d íå çàâèñèò îò θ. Îíî èìååò òîò æå îáðàç, ïîñêîëüêó

                              Ψ̃( · |θ) = Eθ ϕ̃d ( · |T (X)) =

                Eθ [ E { ϕd ( · |X) | T (X) } ] = Eθ ϕd ( · | X) = Ψ( · | θ)
(êàê èçâåñòíî, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò óñëîâíîãî ñðåäíåãî ðàâíî áåç-
óñëîâíîìó ñðåäíåìó).            2
  Çàìåòèì, ÷òî ñîâïàäåíèå îáðàçîâ ïðàâèë ϕd è ϕ̃d âëå÷åò ñîâïàäåíèå èõ
θ -, λ - è d -ðèñêîâ.
    Íàéòè äîñòàòî÷íóþ ñòàòèñòèêó, åñëè îíà ñóùåñòâóåò, ìîæíî ñ ïîìîùüþ
ñëåäóþùåãî êðèòåðèÿ ôàêòîðèçàöèè Íåéìàíà.
  Òåîðåìà 2.2. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñòàòèñòèêà                 T   áûëà äîñòàòî÷íîé äëÿ ñå-

ìåéñòâà   P,   äîìèíèðîâàííîãî      σ -êîíå÷íîé ìåðîé µ,         íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷-

íî ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé                      gθ   è   h,   ÷òîáû ïëîò-

íîñòü   p (x | θ)   äîïóñêàëà ïðåäñòàâëåíèå


                              p (x | θ) = g θ ( T ( x ) ) h(x)                          (2.1)

                                             20

Страницы