Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

g
+
(t) = g
−
(t) g(t) = 0
t.
X
(n)
X
1
, . . . , X
n
Y
1
, . . . , Y
m
(µ, σ
1
) (µ, σ
2
)
(n + m)
f
n+m
(x
(n)
, y
(m)
|θ) =
C(θ) exp
(
−
1
2σ
2
1
n
X
1
x
2
i
+
µ
σ
2
1
n
X
1
x
i
−
1
2σ
2
2
m
X
1
y
2
i
+
µ
σ
2
2
m
X
1
y
i
)
,
θ = (µ, σ
1
, σ
2
).
T =
n
X
1
X
i
,
n
X
1
X
2
i
,
m
X
1
Y
i
,
m
X
1
Y
2
i
,
!
E
1
n
n
X
1
X
i
−
1
m
m
X
1
Y
i
,
!
= 0
θ.
V = V (X)
θ,
(θ, σ
2
)
σ
2
X
ñîâïàäàþò íà âñåõ áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâàõ, ÷òî ñ íåîáõîäèìîñòüþ âëå÷åò
g + (t) = g − (t) ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå Ëåáåãà. Ïîýòîìó g(t) = 0 äëÿ ïî÷òè
âñåõ t.
  Èòàê, X(n)  ïîëíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà è, ñëåäîâàòåëüíî, ìèíè-
ìàëüíàÿ.

  Ïðèìåð 2.5    íåïîëíîé äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè. Ïóñòü X1 , . . . , Xn è
Y1 , . . . , Ym  ñëó÷àéíûå âûáîðêè èç íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïàðà-
ìåòðàìè (µ, σ1 ) è (µ, σ2 ) ñîîòâåòñòâåííî (ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëå-
íèé ñîâïàäàþò, à äèñïåðñèè ðàçíûå). Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü îïðåäåëÿåòñÿ
(n + m) -ìåðíîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè

                               fn+m (x(n) , y (m) | θ) =
                (       n       n         m       m
                                                                                  )
                     1 X 2    µ X      1 X 2    µ X
          C(θ) exp − 2    x +     xi − 2    y +     yi                                ,
                    2σ1 1 i σ12 1     2σ2 1 i σ22 1
                                      θ = (µ, σ1 , σ2 ).
  Â ñèëó òåîðåìû ôàêòîðèçàöèè ñòàòèñòèêà
                       n               n             m            m
                                                                              !
                       X               X             X            X
                 T =           Xi ,          Xi2 ,         Yi ,       Yi2 ,
                           1             1           1            1

ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íîé. Îäíàêî îíà íåïîëíà, ïîñêîëüêó
                                  n                  m
                                                              !
                               1X       1 X
                       E           Xi −     Yi ,                  =0
                               n 1      m 1

ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ òðåõìåðíîãî ïàðàìåòðà θ.

  Ðàññìîòðèì åùå îäèí êëàññ ñòàòèñòèê, êîòîðûé ïðèâîäèò ê âåñüìà èí-
òåðåñíûì ðåçóëüòàòàì, êîãäà ñóùåñòâóþò ïîëíûå äîñòàòî÷íûå ñòàòèñòèêè.


  Îïðåäåëåíèå 2.4.     Ñòàòèñòèêà V = V (X) íàçûâàåòñÿ ïîä÷èíåííîé,
åñëè åå ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà θ, èíäåêñèðóþùåãî ñòàòè-
ñòè÷åñêóþ ìîäåëü.

  Íàïðèìåð, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü âûáîðêè èç íîðìàëüíîãî (θ, σ 2 ) ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè äèñïåðñèè σ 2 îáëàäàåò ïîëíîé
(ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìàëüíîé) äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé X (âûáîðî÷íîå

                                              27

Страницы