Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

λ
1
u
2
1
+ ···+ λ
m
u
2
m
,
u
2
1
+ ···+ u
2
m
. λ
1
, . . . , λ
m
u
1
, . . . , u
m
∆θ = (∆θ
1
, . . . , ∆θ
m
).
λ
m
,
2
L(θ, d) =
0, d ∈ D
θ
,
1, d ∈ D
c
θ
.
p (θ) 6 r(θ) < 1/2, θ ∈ Θ, p (θ) =
P
θ
(δ ∈ D
c
θ
)
E
θ
ν >
ϑ∈B(θ)
ω(r(θ), r(ϑ))
W
ϕ
(θ)
P
i ∈I
w
ϕ,i
(θ) I(θ, ϑ |ξ
i
)
, (3.9)
B(θ) = {ϑ : D
θ
T
D
ϑ
= ∅}
ω(x, y) = x ln
x
1 − y
+ (1 − x) ln
1 − x
y
,
x + y < 1 ω(x, y) = 0
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íåðàâåíñòâî (3.6) ñëåäóåò íåìåäëåííî èç ñâîéñòâ
ìåðû ðàçëè÷àþùåé èíôîðìàöèè, äîêàçàííûõ â Ïðåäëîæåíèÿõ 3.1  3.3.
Îñëàáëåíèÿ (3.7) ýòîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àþòñÿ ïðèìåíåíèåì Ëåììû 3.1
ê îòíîøåíèþ èíôîðìàöèé â ïðàâîé ÷àñòè (3.6). Íåîòðèöàòåëüíî îïðåäå-
ëåííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ìîæíî åäèíûì
îðòîãîíàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïðèâåñòè ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, ïðè÷åì
÷èñëèòåëþ ìîæíî ïðèäàòü âèä λ1 u21 + · · · + λm u2m , à çíàìåíàòåëü çàïèñàòü
êàê u21 + · · · + u2m . Â òàêîé çàïèñè λ1 , . . . , λm ÿâëÿþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìè
êîðíÿìè óðàâíåíèÿ (3.8), à u1 , . . . , um  ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè êîì-
ïîíåíò âåêòîðà ∆θ = (∆θ1 , . . . , ∆θm ). Óñòðåìëÿÿ ýòè êîìïîíåíòû ê íóëþ
òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû â ïðåäåëå îñòàëñÿ íàèáîëüøèé êîðåíü λm , ïîëó÷àåì
ïðåäïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â (3.7). Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â (3.7) î÷åâèäíî.
2
    Ñëåäóþùåå îñëàáëåíèå íåðàâåíñòâà (3.6) ïðèìåíèìî ê ñòàòèñòè÷åñêèì
ïðîáëåìàì ñ ôóíêöèåé ïîòåðü òèïà 1 0:
                                        
                                         0, åñëè d ∈ Dθ ,
                            L(θ, d) =
                                         1, åñëè d ∈ Dc .
                                                       θ

Ýòà ôóíêöèÿ ïîòåðü ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ïðîáëåìàõ îöåíêè ïàðàìåòðà
ñ ãàðàíòèðîâàííîé òî÷íîñòüþ è íàäåæíîñòüþ, à òàêæå â çàäà÷àõ ðàçëè-
÷åíèÿ ãèïîòåç, êëàññèôèêàöèè, îòáîðà è óïîðÿäî÷èâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ
ïîïóëÿöèé, ãäå ñîîòâåòñòâóþùàÿ òàêèì ïîòåðÿì ôóíêöèÿ ðèñêà îáû÷íî
íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ íåêîððåêòíîãî ðåøåíèÿ.
    Ñëåäñòâèå 3.1. Äëÿ ëþáîé ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîöåäóðû ñ ãàðàíòèðîâàí-
íûì îãðàíè÷åíèåì         p (θ) 6 r(θ) < 1/2, θ ∈ Θ,          íà âåðîÿòíîñòü   p (θ) =
Pθ (δ ∈ Dθc )   íåêîððåêòíîãî ðåøåíèÿ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

                                            ω(r(θ), r(ϑ))
                    Eθ ν > sup                                       ,          (3.9)
                                        sup
                                            P
                              ϑ∈B(θ)          wϕ,i (θ) I(θ, ϑ | ξi )
                                       Wϕ (θ) i ∈I
                        T
ãäå   B(θ) = {ϑ : Dθ        Dϑ = ∅}    è

                                            x               1−x
                       ω(x, y) = x ln          + (1 − x) ln     ,
                                           1−y               y
åñëè   x+y <1      è   ω(x, y) = 0   â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.


                                              37

Страницы