Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p (θ |ϑ) = P
ϑ
(δ ∈ D
c
θ
), p (θ |θ) = p (θ).
D
θ
T
D
ϑ
= ∅,
1 − p (ϑ) = P
ϑ
(δ ∈ D
c
ϑ
) 6 P
ϑ
(δ ∈ D
c
θ
) = p (θ |ϑ). (3.10)
I(θ, ϑ |δ
ϕ
) > p (θ) ln
p (θ)
p (θ |ϑ)
+(1−p (θ)) ln
1 − p (θ)
1 − p (θ |ϑ)
= ω( p (θ), 1−p (θ |ϑ) ).
ω(x, y)
ϑ ∈ B(θ)
ω( p (θ), 1 − p (θ |ϑ) ) > ω( p (θ), p (ϑ)) > ω(r(θ), r(ϑ) ).
Θ B(θ) (⊂ Θ) I(θ, ϑ |δ)
ω(r(θ), r(ϑ)), ϑ ∈ B(θ). 2
θ.
δ
ϕ
= (δ
ϕ,1
, . . . , δ
ϕ,k
)
γ(θ) = (γ
1
(θ), . . . , γ
k
(θ)),
E
θ
δ
ϕ
(X) = γ(θ) θ ∈ Θ ⊆ R
m
.
γ
ν θ ∈ Θ
E
θ
ν >
ϕ∈Φ
lim
k∆θ k→0
max
16i6k
h
P
m
j=1
∂γ
i
(θ)
∂θ
j
∆θ
j
i
2
var
θ
δ
ϕ,i
(X)
P
i ∈I
w
ϕ,i
(θ) J(θ, θ + ∆θ |ξ
i
)
. (3.11)
E
θ
ν
ν, τ
ν
, δ
τ
ν
X
(τ
ν
)

P
ρ
.
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.   Ïîëîæèì p (θ | ϑ) = Pϑ (δ ∈ Dθc ),              p (θ | θ) = p (θ).
Åñëè Dθ       Dϑ = ∅, òî
          T

                 1 − p (ϑ) = Pϑ (δ ∈ Dϑc ) 6 Pϑ (δ ∈ Dθc ) = p (θ | ϑ).                      (3.10)

Êàê èçâåñòíî, ðàçëè÷àþùàÿ èíôîðìàöèÿ óáûâàåò ïðè ãðóïïèðîâêå çíà÷å-
íèé íàáëþäàåìîãî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà. Ñëåäîâàòåëüíî,
                              p (θ)                  1 − p (θ)
I(θ, ϑ | δϕ ) > p (θ) ln              +(1−p (θ)) ln               = ω( p (θ), 1−p (θ | ϑ) ).
                            p (θ | ϑ)               1 − p (θ | ϑ)
Òàê êàê ω(x, y) óáûâàåò ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, òî â ñèëó íåðàâåíñòâà
(3.10) äëÿ ëþáîãî ϑ ∈ B(θ) è ëþáîé ãàðàíòèéíîé ïðîöåäóðû

            ω( p (θ), 1 − p (θ | ϑ) ) > ω( p (θ), p (ϑ)) > ω(r(θ), r(ϑ) ).

  Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî (3.9) ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà (3.6) ñ çàìå-
íîé Θ íà B(θ) (⊂ Θ) è çàìåíîé ðàçëè÷àþùåé èíôîðìàöèè I(θ, ϑ | δ) íà,
âîîáùå ãîâîðÿ, ìåíüøóþ âåëè÷èíó ω(r(θ), r(ϑ)), ϑ ∈ B(θ).                               2
  Äàëüíåéøåå îñëàáëåíèå íåðàâåíñòâ (3.7) ñâÿçàíî ñ èõ ïðèìåíåíèåì ê
ïðîáëåìå ãàðàíòèéíîé îöåíêè ôóíêöèè îò ïàðàìåòðà θ. Âíå ïðîáëåìû ãà-
ðàíòèéíîñòè ðåçóëüòàòû ïîñëåäóþùèõ òåîðåì ìîæíî òðàêòîâàòü êàê íåêî-
òîðîå îáîáùåíèå èçâåñòíîãî íåðàâåíñòâà ÐàîÊðàìåðàÂîëüôîâèöà, ïðåä-
ñòàâëåííîå â âèäå íèæíåé ãðàíèöû íå äëÿ êâàäðàòè÷íîãî ðèñêà îöåíêè, à
äëÿ ñðåäíåãî îáúåìà íàáëþäåíèé.

  Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü             δϕ = (δϕ,1 , . . . , δϕ,k )     ãàðàíòèéíàÿ íåñìåùåííàÿ

îöåíêà âåêòîðíîé ïàðàìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè                        γ(θ) = (γ1 (θ), . . . , γk (θ)),   òî

åñòü   Eθ δϕ (X) = γ(θ)       ïðè ëþáîì        θ ∈ Θ ⊆ Rm .        Åñëè ñòàòèñòè÷åñêèé ýêñ-

ïåðèìåíò ðåãóëÿðåí è ôóíêöèÿ               γ   äèôôåðåíöèðóåìà, òî äëÿ ëþáîé ãàðàí-

òèéíîé ñòðàòåãèè ñ ìîìåíòîì îñòàíîâêè                    ν   ïðè ëþáîì     θ∈Θ      ñïðàâåäëèâî

ñëåäóþùåå îñëàáëåíèå íåðàâåíñòâà                (3.7):
                                                  hP                     i2
                                                         m ∂γi (θ)
                                                         j=1 ∂θj ∆θj
  Eθ ν > inf         lim      max                    P                                     . (3.11)
            ϕ∈Φ k ∆θ k→0 16i6k       varθ δϕ,i (X)           wϕ,i (θ) J(θ, θ + ∆θ | ξi )
                                                     i ∈I

  Äëÿ äîñòèæåíèÿ íèæíèõ ãðàíèö                    Eθ ν       íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñòàòèñòèêà
                      
 ν, τν , δτν X(τν   )
                           áûëà äîñòàòî÷íîé äëÿ ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé                     Pρ .


                                                38

Страницы