Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α, θ ∈ Θ
m(θ), θ ∈ Θ
1
, α.
ϕ
∗
E
θ
ϕ
∗
(X) 6 α
θ ∈ Θ
0
E
θ
ϕ
∗
(X) > E
θ
ϕ(X) θ ∈ Θ
1
ϕ
E
θ
ϕ(X) 6 α θ ∈ Θ
0
,
H
0
:
X p
0
(x), x ∈ X
H
1
: X
p
1
(x), x ∈ X.
L = L(X) =
p
1
(X)
p
0
(X)
.
P
0
P
1
p
0
p
1
µ
H
0
H
1
H
0
H
1
ϕ k
α, 0 < α < 1,
E
0
ϕ(X) = α (7.1)
ϕ(x) =
1, p
1
(x) > k p
0
(x) ,
0, p
1
(x) < k p
0
(x) .
(7.2)
k, α
H
0
H
1
ϕ α H
0
H
1
, k µ.
ðèÿ çàäàííîãî óðîâíÿ α, êîòîðûé ðàâíîìåðíî ïî âñåì θ ∈ Θ äîñòàâëÿåò
ìàêñèìóì ìîùíîñòè m(θ), θ ∈ Θ1 , â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ óðîâíÿ α. Òà-
êîé êðèòåðèé ϕ∗ , äëÿ êîòðîãî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà Eθ ϕ∗ (X) 6 α äëÿ
âñåõ θ ∈ Θ0 è Eθ ϕ∗ (X) > Eθ ϕ(X) äëÿ âñåõ θ ∈ Θ1 è ëþáîãî êðèòåðèÿ ϕ
c Eθ ϕ(X) 6 α äëÿ âñåõ θ ∈ Θ0 , íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûì
(â äàëüíåéøåì ÐÍÌ êðèòåðèåì).
    Îñíîâíàÿ èäåÿ ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ÐÍÌ êðèòåðèåâ ðàñêðûâàåòñÿ â óòâåð-
æäåíèè, êîòîðîå îáû÷íî íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ëåììîé òåîðèè ïðî-
âåðêè ãèïîòåç èëè ôóíäàìåíòàëüíîé ëåììîé ÍåéìàíàÏèðñîíà.  ýòîé
ëåììå ðàññìàòðèâàåòñÿ êðèòåðèé ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû H0 : âûáî-
ðî÷íûé âåêòîð X èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè p 0 (x), x ∈ X ïðè òàêæå
ïðîñòîé àëüòåðíàòèâå H1 : ðàñïðåäåëåíèå X èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè
p 1 (x), x ∈ X. Êðèòåðèé ñòðîèòñÿ íà îñíîâå ñòàòèñòèêè îòíîøåíèÿ ïðàâ-
äîïîäîáèÿ
                                                    p 1 (X)
                                     L = L(X) =             .
                                                    p 0 (X)
    Ëåììà 7.1. Ïóñòü       P   0 è   P   1  ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, îáëàäàþùèå
ïëîòíîñòÿìè     p0   è   p1   ñîîòâåòñòâåííî, ïî îòíîøåíèþ ê íåêîòîðîé ìåðå      µ
è îïðåäåëÿþùèå ñîîòâåòñòâóþùèå ãèïîòåçû                   H0    è   H1
    ( i ) Ñ ó ù å ñ ò â î â à í è å. Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 ïðè àëüòåðíàòèâå
H1 íàéäóòñÿ êðèòåðèé ϕ è êîíñòàíòà k òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ôèêñè-
ðîâàííîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α, 0 < α < 1,

                                          E 0 ϕ(X) = α                        (7.1)

è                                 
                                   1, åñëè p 1 (x) > k p 0 (x) ,
                         ϕ(x) =                                               (7.2)
                                   0, åñëè p 1 (x) < k p 0 (x) .

    ( ii ) Ä î ñ ò à ò î ÷ í î å ó ñ ë î â è å äëÿ êðèòåðèÿ íàèáîëüøåé ìîùíîñòè.
Åñëè êðèòåðèé óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì (7.1) è (7.2) ïðè íåêîòîðîì
k, òî îí ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ìîùíûì êðèòåðèåì óðîâíÿ α äëÿ ïðîâåðêè
H0 ïðîòèâ H1 .
  ( iii ) Í å î á õ î ä è ì î å ó ñ ë î â è å äëÿ êðèòåðèÿ íàèáîëüøåé ìîùíîñòè.
Åñëè ϕ  íàèáîëåå ìîùíûé êðèòåðèé óðîâíÿ α äëÿ ïðîâåðêè H0 ïðîòèâ
H1 , òî ïðè íåêîòîðîì k îí óäîâëåòâîðÿåò (7.2) ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå µ.

                                               86

Страницы