Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

µ, P
1
(C) = 0.
c,
α(c) = α,
ϕ α
ϕ
∗
α, E
0
ϕ
∗
(X) 6 α.
E
1
ϕ(X) > E
1
ϕ
∗
(X).
X :
S
+
= {x : ϕ(x) − ϕ
∗
(x) > 0 } S
−
= {x : ϕ(x) − ϕ
∗
(x) < 0 }.
x ∈ S
+
, ϕ(x) > ϕ
∗
(x) > 0, ϕ
p
1
(x) − k p
0
(x) > 0. x ∈ S
−
, ϕ(x) < ϕ
∗
(x) 6
1, p
1
(x) − k p
0
(x) 6
0. ( ϕ(x) − ϕ
∗
(x) ) ( p
1
(x) − k p
0
(x) )
Z
X
( ϕ − ϕ
∗
) ( p
1
− k p
0
) d µ =
Z
S
+
∪S
−
( ϕ − ϕ
∗
) ( p
1
− k p
0
) d µ > 0,
ϕ ϕ
∗
Z
X
( ϕ − ϕ
∗
) p
1
d µ >
Z
X
( ϕ − ϕ
∗
) k p
0
) d µ = α − E
0
ϕ
∗
(X) > 0.
ϕ
∗
ϕ,
ϕ
∗
α ϕ
µ ( {x : ϕ(x) 6= ϕ
∗
(x) }) = 0.
S =
S
+
∪ S
−
∩ {x : p
1
(x) 6= kp
0
(x) }.
µ( S ) = 0. µ( S ) > 0.
òàêæå íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû µ, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî P1 (C) = 0.
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâà, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì c, äëÿ êî-
òîðûõ α(c) = α, èìåþò íóëåâóþ âåðîÿòíîñòü ïî îáåèì òåñòèðóåìûì ðàñ-
ïðåäåëåíèÿì, è ïîýòîìó âîîáùå ìîãóò áûòü èñêëþ÷åíû èç âûáîðî÷íîãî
ïðîñòðàíñòâà.

  ( ii ) Ïóñòü ϕ  êðèòåðèé âèäà (7.2) è ðàçìåðà α (âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
(7.2)), à ϕ∗  äðóãîé êðèòåðèé óðîâíÿ α, òî åñòü E0 ϕ∗ (X) 6 α. Òðåáóåòñÿ
ïîêàçàòü, ÷òî E1 ϕ(X) > E1 ϕ∗ (X).
  Ââåäåì äâà ïîäìíîæåñòâà âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà X :

    S + = { x : ϕ(x) − ϕ∗ (x) > 0 } è S − = { x : ϕ(x) − ϕ∗ (x) < 0 }.

Åñëè x ∈ S + , òî ϕ(x) > ϕ∗ (x) > 0, è èç âèäà (7.2) êðèòåðèÿ ϕ ñëåäóåò,
÷òî òîãäà è p 1 (x) − k p 0 (x) > 0. Åñëè æå x ∈ S − , òî ϕ(x) < ϕ∗ (x) 6
1, è àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî òîãäà p 1 (x) − k p 0 (x) 6
0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå ( ϕ(x) − ϕ∗ (x) ) ( p 1 (x) − k p 0 (x) ) âñåãäà
íåîòðèöàòåëüíî, òàê ÷òî
     Z                            Z
             ∗
       (ϕ − ϕ )(p1 − kp0)dµ =         ( ϕ − ϕ∗ ) ( p 1 − k p 0 ) d µ > 0,
     X                                    S + ∪S −

è äëÿ ðàçíîñòåé ìîùíîñòåé ϕ è ϕ∗ ïîëó÷àåì îöåíêó
      Z                          Z
          ( ϕ − ϕ∗ ) p 1 d µ >       ( ϕ − ϕ∗ ) k p 0 ) d µ = α − E0 ϕ∗ (X) > 0.
      X                          X
  Òàêèì îáðàçîì, ìîùíîñòü êðèòåðèÿ ϕ∗ íå áîëüøå ìîùíîñòè ϕ, ÷òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

  ( iii ) Ïóñòü ϕ∗  íàèáîëåå ìîùíûé êðèòåðèé óðîâíÿ α è ϕ  êðèòåðèé,
äëÿ êîòîðîãî âûïëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (7.1) è (7.2). Òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî

                          µ ( { x : ϕ(x) 6= ϕ∗ (x) } ) = 0.

  Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî

                   S = S + ∪ S − ∩ { x : p1 (x) 6= kp 0 (x) }.
                                


Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî µ( S ) = 0. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: µ( S ) > 0.


                                             88

Страницы