Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P = {P ( ·|θ), θ ∈ R}
T = T(X)
θ
0
, θ
00
θ
00
> θ
0
p (x |θ
00
)/p (x |θ
0
) T (x).
θ P
X
T (X).
H
0
: θ 6 θ
0
H
1
: θ > θ
0
ϕ(x) =
1, T (x) > C ,
γ, T (x) = C ,
0, T (x) < C ,
(7.4)
C γ
E
θ
0
ϕ(X) = α. (7.5)
m(θ) = E
θ
ϕ(X)
m(θ) < 1.
θ < θ
0
α(θ) = m(θ), θ < θ
0
H
0
0
: θ = θ
0
H
0
1
: θ = θ
1
(> θ
0
).
p
1
(x)/p
0
(x)
T (x), C γ
C γ,
òîëüêî äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îáëàäàþùèõ äîñòà-
òî÷íûìè ñòàòèñòèêàìè.
  Îïðåäåëåíèå 7.1.            Ñåìåéñòâî P = {P ( · | θ), θ ∈ R} íàçûâàåòñÿ ñåìåé-
ñòâîì ñ ìîíîòîííûì îòíîñèòåëüíî ñòàòèñòèêè T = T (X) îòíîøåíè-
åì ïðàâäîïîäîáèÿ, åñëè äëÿ ëþáûõ θ 0 , θ 00 ñ θ 00 > θ 0 îòíîøåíèå ôóíêöèé
ïëîòíîñòè p (x | θ 00 )/p (x | θ 0 ) åñòü íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ ñòàòèñòèêè T (x).


  Òåîðåìà 7.1. Ïóñòü            θ    äåéñòâèòåëüíûé ïàðàìåòð è ñåìåéñòâî      P   ðàñ-

ïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè            X   îáëàäàåò ìîíîòîííûì îòíîøåíèåì ïðàâ-

äîïîäîáèÿ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ñòàòèñòèêè            T (X).   Òîãäà

  (i)       Äëÿ ïðîâåðêè      H0 : θ 6 θ 0   ïðè àëüòåðíàòèâå   H1 : θ > θ 0   ñóùå-

ñòâóåò ÐÍÌ êðèòåðèé
                                    
                                    
                                     1, åñëè T (x) > C ,
                                    
                             ϕ(x) =   γ, åñëè T (x) = C ,                          (7.4)
                                    
                                     0, åñëè T (x) < C ,
                                    

ãäå   C     è   γ   âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî


                                      E θ0 ϕ(X) = α.                               (7.5)

  ( ii )    Ôóíêöèÿ ìîùíîñòè        m(θ) = E θ ϕ(X)    ýòîãî êðèòåðèÿ ñòðîãî âîç-

ðàñòàåò âî âñåõ òî÷êàõ, ãäå         m(θ) < 1.
  ( iii )       Äëÿ ëþáîãî    θ < θ 0 êðèòåðèé (7.3) ìèíèìèçèðóåò âåðîÿòíîñòü
îøèáêè ïåðâîãî ðîäà           α(θ) = m(θ), θ < θ 0 â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ, óäî-
âëåòâîðÿþùèõ (7.5).

  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ( i ) è ( ii ). Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà çàäà÷ó ïðîâåðêè ïðî-
ñòîé ãèïîòåçû H00 : θ = θ0 ïðè ïðîñòîé àëüòåðíàòèâå H10 : θ = θ1 (> θ0 ).
Ñîãëàñíî Ëåììå 7.1, äëÿ äàííîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò íàèáîëåå ìîùíûé êðè-
òåðèé (7.3), êîòîðûé â ñèëó òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ p 1 (x)/p 0 (x) åñòü íåóáûâà-
þùàÿ ôóíêöèÿ T (x), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (7.4). Ïîñòîÿííûå C è γ
â íîâîé çàïèñè, åñòåñòâåííî, ïðèîáðåòàþò äðóãîé âèä, íî äëÿ äàëüíåéøèõ
öåëåé èõ êîíêðåòíûé âèä íå èãðàåò ðîëè, ïîñêîëüêó èç óòâåðæäåíèÿ ( i )
Ëåììû 7.1 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñòîÿííûå C è γ, äëÿ êîòîðûõ
(7.4) è (7.5) âûïîëíÿþòñÿ.

                                             90

Страницы