Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ
1
> θ
0
,
H
0
0
H
1
: θ > θ
0
,
θ
0
θ
00
θ
0
< θ
00
,
θ = θ
0
θ = θ
00
α
0
= m(θ
0
).
m(θ
0
) < m(θ
00
),
m(θ)
θ ∈ R,
E
θ
ϕ(X) 6 E
θ
0
ϕ(X) = α (7.6)
θ 6 θ
0
. α
H
0
: θ 6 θ
0
H
1
: θ > θ
0
.
E
θ
0
ϕ(X) 6 α,
m (θ) θ > θ
0
.
2
H
0
: θ > θ
0
H
1
: θ < θ
0
Q(θ)
T.
X
     Çàìå÷àòåëåí òîò ôàêò, ÷òî êðèòåðèé (7.4) ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ìîùíûì
ïðè ëþáîé àëüòåðíàòèâå θ1 > θ0 , òî åñòü îí ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íàèáîëåå
ìîùíûì êðèòåðèåì ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû H00 ïðè ñëîæíîé àëüòåð-
íàòèâå H1 :     θ > θ0 , èìåííî òîé àëüòåðíàòèâå, êîòîðàÿ âûäâèãàåòñÿ â
èñõîäíîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è.
     Äàëåå, åñëè θ 0 è θ 00  äâà ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè÷åì
θ 0 < θ 00 , òî èç óòâåðæäåíèÿ ( ii ) Ëåììû 7.1 ñëåäóåò, ÷òî êðèòåðèé (7.4)
ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ìîùíûì êðèòåðèåì ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû θ = θ 0
ïðè ïðîñòîé àëüòåðíàòèâå θ = θ 00 ïðè óðîâíå α 0 = m(θ 0 ). Íî òîãäà â
ñèëó Ñëåäñòâèÿ 7.1 m(θ 0 ) < m(θ 00 ), ÷òî, âî-ïåðâûõ, äîêàçûâàåò óòâåðæäå-
íèå ( ii ) äàííîé òåîðåìû î íåóáûâàíèè ôóíêöèè ìîùíîñòè m(θ) ïðè âñåõ
θ ∈ R, à âî-âòîðûõ, ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ êðèòåðèÿ (7.4) ñïðàâåäëèâî íåðà-
âåíñòâî
                          Eθ ϕ(X) 6 Eθ0 ϕ(X) = α                      (7.6)
äëÿ âñåõ θ 6 θ0 . Ñëåäîâàòåëüíî, êðèòåðèé (7.4) èìååò çàäàííûé óðîâåíü α
êàê êðèòåðèé ïðîâåðêè èñõîäíîé ãèïîòåçû H0 : θ 6 θ 0 ïðè àëüòåðíàòèâå
H1 : θ > θ 0 . Íî êëàññ êðèòåðèåâ, äëÿ êîòîðûõ âåðíî íåðàâåíñòâî (7.6)
ñîäåðæèòñÿ â áîëåå øèðîêîì êëàññå êðèòåðèåâ ñ Eθ0 ϕ(X) 6 α, â êîòîðîì
(7.4) ìàêñèìèçèðóåò m (θ) ïðè âñåõ θ > θ0 . Ñëåäîâàòåëüíî, (7.4) åñòü ÐÍÌ
êðèòåðèé è ñïðàâåäëèâî óòâåðäæäåíèå ( i ) äàííîé òåîðåìû.
     ( iii ) ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî êðèòåðèé, ìèíèìèçèðóþùèé ìîùíîñòü
â çàäà÷å ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû ïðè ïðîñòîé àëüòåðíàòèâå, ïîëó÷àåòñÿ
èç Ëåììû 7.1, åñëè â íåé âñå íåðàâåíñòâà çàìåíèòü íà îáðàòíûå.       2

     Î÷åâèäíûå èçìåíåíèÿ â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû 7.1 äàþò ðåøåíèå ïðî-
áëåìû ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 : θ > θ 0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : θ < θ 0


     Ïîíÿòíî, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé
(ñì. îïðåäåëåíèå 2.2) ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ íà ôóíêöèþ Q(θ) îáëà-
äàþò ìîíîòîííûì îòíîøåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ îòíîñèòåëüíî äîñòàòî÷íîé
ñòàòèñòèêè T.  ñèëó ýòîãî çàìå÷àíèÿ èç òåîðåìû 7.1 íåìåäëåííî âûòåêà-
åò

     Ñëåäñòâèå 7.2. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà     X   èìååò ðàñïðåäåëåíèå ñ


                                     91

Страницы