Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C
α
+ 1 6 n
γ
γ =
α − h( C
α
)
p ( C
α
|θ
0
)
.
C
α
+ 1 6 n H
0
T 6 C
α
, T > C
α
,
γ = 0. p (n |θ
0
) > α C
α
H
0
γ = α/ p( n |θ
0
)
T = n; T < n H
0
T = C
α
n,
U, X
H
0
u U
u > 1−γ.
(X
1
, . . . , X
n
, U)
T + U > C
α
+ 1 − γ,
H
0
: θ 6 θ
1
θ > θ
2
,
θ
1
, θ
2
.
X
µ
p ( x |θ) = B(θ) exp{Q(θ) T (x) }h(x),
Q H
0
:
θ 6 θ
1
θ > θ
2
, θ
1
, θ
2
H
1
: θ
1
< θ < θ
2
Åñëè Cα + 1 6 n è â (7.8) èìååò ìåñòî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî, òî ïîñòîÿííàÿ
ðàíäîìèçàöèè γ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                            α − h( Cα )
                                       γ=                  .
                                             p ( Cα | θ0 )
Åñëè Cα + 1 6 n è â (7.8) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî, òî H0 ïðèíèìàåòñÿ, åñëè
T 6 Cα , è îòâåðãàåòñÿ, êîãäà T > Cα ,  â ýòîì ñëó÷àå ïîñòîÿííàÿ ðàíäî-
ìèçàöèè γ = 0. Åñëè, íàêîíåö, p (n | θ0 ) > α (êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà Cα íå
îïðåäåëÿåòñÿ), òî ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ γ = α/ p( n | θ0 )
òîëüêî â ñëó÷àå T = n; ïðè T < n íóëåâàÿ ãèïîòåçà H0 âñåãäà ïðèíèìà-
åòñÿ.
  Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî â ýòîì ïðèìåðå ÐÍÌ êðèòåðèé ìîæíî òðàêòî-
âàòü êàê íåðàíäîìèçèðîâàííûé, åñëè âêëþ÷èòü ïðîöåäóðó ðàíäîìèçàöèè
â ñòàòèñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò. Êîãäà T = Cα èëè n, òî íàáëþäàåòñÿ ñëó-
÷àéíàÿ âåëè÷èíà U, íå çàâèñÿùàÿ îò X è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ íà
èíòåðâàëå [ 0, 1 ]. Ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ, åñëè ðåçóëüòàò u íàáëþäåíèÿ U
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó u > 1−γ. Áóäåì òåïåðü òðàêòîâàòü ñëó÷àéíûé
âåêòîð (X1 , . . . , Xn , U ) êàê ñëó÷àéíóþ âûáîðêó. Òîãäà íåðàíäîìèçèðîâàí-
íûé êðèòåðèé ñ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ T + U > Cα + 1 − γ, î÷åâèäíî,
ýêâèâàëåíòåí ÐÍÌ êðèòåðèþ (7.7).

  ÐÍÌ êðèòåðèè ñóùåñòâóþò íå òîëüêî äëÿ îäíîñòîðîííèõ, íî òàêæå è
äëÿ íåêîòîðûõ äâóñòîðîííèõ ãèïîòåç âèäà H0 : θ 6 θ1 èëè θ > θ2 , ãäå
θ1 , θ2 . Ïðîáëåìû ïîäîáíîãî ðîäà ìîãóò âîçíèêàòü, íàïðèìåð, åñëè ìû æå-
ëàåì îïðåäåëèòü, óäîâëåòâîðÿþòñÿ ëè çàäàííûå òðåáîâàíèÿ îòíîñèòåëüíî
ïðîïîðöèè èíãðåäèåíòà â êàêîì-ëèáî ìåäèêàìåíòå. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà,
êîòîðóþ ìû ïðèâåäåì äëÿ ñïðàâêè (áåç äîêàçàòåëüñòâà) óêàçûâàåò âèä
ÐÍÌ êðèòåðèÿ è ïîâåäåíèå åãî ôóíêöèè ìîùíîñòè.

  Òåîðåìà 7.2.          (i)     Åñëè ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè          X   ïðèíàäëåæèò îäíî-

ïàðàìåòðè÷åñêîìó ýêñïîíåíöèàëüíîìó ñåìåéñòâó ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ïî

ìåðå    µ
                             p ( x | θ) = B(θ) exp{ Q(θ) T (x) } h(x),
ãäå Q        ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, òî äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû                     H0 :
θ 6 θ1      èëè   θ > θ2 ,    ( θ1 , θ2 ) ïðè àëüòåðíàòèâå     H1 : θ1 < θ < θ2   ñóùåñòâóåò


                                                93

Страницы