Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

µ
p ( x |θ) = B(θ) exp{Q(θ) T (x) }h(x),
Q(θ) θ.
H
0
: θ 6 θ
0
H
1
: θ > θ
0
. Q
X =
(X
1
, . . . , X
n
)
p
n
(x
(n)
|θ) = θ
P
n
1
x
k
(1 − θ)
n−
P
n
1
x
k
,
θ = P(X
k
= 1)
T =
P
n
k=1
X
k
T
t = 0, 1, . . . , n
p (t |θ) = C
t
n
θ
t
(1 − θ)
n−t
.
H
0
: θ 6 θ
0
H
1
: θ > θ
0
. α
ϕ(T ) =
1, T > C ,
γ, T = C ,
0, T < C ,
(7.7)
C γ
E
θ
0
ϕ( T (X) ) = α.
C = C
α
h(C) =
n
X
t=C+1
p ( t |θ
0
) 6 α, (7.8)
ïëîòíîñòüþ (ïî íåêîòîðîé ìåðå                µ)

                        p ( x | θ) = B(θ) exp{ Q(θ) T (x) } h(x),

ãäå   Q(θ)     ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ïàðàìåòðà                                θ.
Òîãäà ôîðìóëû         (7.4)   è   (7.5)   Òåîðåìû        7.1   îïðåäåëÿþò ÐÍÌ êðèòåðèé äëÿ

ïðîâåðêè ãèïîòåçû         H0 : θ 6 θ 0         ïðè àëüòåðíàòèâå              H1 : θ > θ 0 .   Åñëè   Q
óáûâàåò, òî íåðàâåíñòâà â           (7.4)   çàìåíÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè.


  Ïðèìåð 7.1         . ÐÍÌ êðèòåðèé äëÿ âåðîÿòíîñòè óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ â
ñõåìå Áåðíóëëè. Ìû íåîäíîêðàòíî ðàññìàòðèâàëè ñòàòèñòè÷åñêóþ ìîäåëü
äëÿ íàáëþäåíèé â ñõåìå Áåðíóëëè. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âûáîðêè X =
(X1 , . . . , Xn ) èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè
                                                   Pn                    Pn
                                  (n)                   xk             n− 1 xk
                          pn (x         | θ) = θ    1        (1 − θ)             ,

ãäå θ = P(Xk = 1) (âåðîÿòíîñòü óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ). Íåòðóäíî ïðî-
âåðèòü, ÷òî äàííàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü îáëàäàåò ìîíîòîííûì îòíîñè-
                                                    Pn
òåëüíî äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè T =                         k=1 Xk       îòíîøåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ.
Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñòàòèñòèêè T ïî ñ÷èòàþùåé ìåðå îòëè÷íà îò íóëÿ
òîëüêî â öåëî÷èñëåííûõ òî÷êàõ t = 0, 1, . . . , n è ðàâíà

                                  p (t | θ) = C tn θ t (1 − θ)n−t .

  Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 : θ 6 θ 0 ïðè àëüòåðíàòèâå
H1 : θ > θ 0 . Â ñèëó òåîðåìû 7.1 ÐÍÌ êðèòåðèé óðîâíÿ α îïðåäåëÿåòñÿ
êðèòè÷åñêîé ôóíêöèåé
                              
                              
                               1, åñëè T > C ,
                              
                      ϕ(T ) =   γ, åñëè T = C ,                 (7.7)
                              
                               0, åñëè T < C ,
                              

ãäå   C   è   γ   âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî


                                        E θ0 ϕ( T (X) ) = α.

  Îïðåäåëèì êðèòè÷åñêóþ êîíñòàíòó C = Cα êàê íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñ-
ëî, äëÿ êîòîðîãî
                                             n
                                             X
                                  h(C) =                p ( t | θ0 ) 6 α,                       (7.8)
                                            t=C+1

                                                    92

Страницы