Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

( ϕ(x) −ϕ
∗
(x) ) ( p
1
(x) −k p
0
(x) ) > 0, x ∈ S,
Z
S
+
∪S
−
( ϕ − ϕ
∗
) ( p
1
− k p
0
) d µ =
Z
S
( ϕ − ϕ
∗
) ( p
1
− k p
0
) d µ > 0,
ϕ ϕ
∗
,
µ( S ) = 0
ϕ
∗
ϕ
∗
α
{x : ϕ
∗
(x) = 1 }
α. E
0
ϕ
∗
(X) = α, E
0
ϕ
∗
(X) = 1. 2
m
α H
0
: X P
0
H
1
: X P
1
. α < m,
P
0
= P
1
.
ϕ ≡ α
α, α 6 m. α = m < 1, ϕ ≡ α
p
0
(x) = k p
1
(x) x µ.
1 =
Z
X
p
0
d µ = k
Z
X
p
1
d µ = k,
p
0
(x) = p
1
(x) x µ. P
0
= P
1
.
2
H
0
: θ 6 θ
0
H
1
: θ > θ
0
θ ∈ Θ ⊆ R.
     Òàê êàê ïðîèçâåäåíèå ( ϕ(x) − ϕ∗ (x) ) ( p 1 (x) − k p 0 (x) ) > 0, åñëè x ∈ S,
òî
          Z                                 Z
                       ∗
                  (ϕ − ϕ )(p1 − kp0)dµ =         ( ϕ − ϕ∗ ) ( p 1 − k p 0 ) d µ > 0,
       S + ∪S −                             S

òî åñòü ϕ îêàçûâàåòñÿ áîëåå ìîùíûì, ÷åì ϕ∗ , è ìû ïðèõîäèì ê ïðîòè-
âîðå÷èþ. Ñëåäîâàòåëüíî, µ( S ) = 0 è íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé (7.1) è (7.2)
äëÿ íàèáîëüøåé ìîùíîñòè êðèòåðèÿ ϕ∗ äîêàçàíà.
     Åñëè ϕ∗ èìååò ðàçìåð ñòðîãî ìåíüøèé çàäàííîãî óðîâíÿ α è ìîùíîñòü,
ìåíüøóþ 1, òî èìååòñÿ âîçìîæíîñòü âêëþ÷èòü â êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü
{ x : ϕ∗ (x) = 1 } äîïîëíèòåëüíûå òî÷êè (èëè ÷àñòè òî÷åê, èñïîëüçóÿ ïðî-
öåäóðó ðàíäîìèçàöèè). Òàêàÿ îïåðàöèÿ ïðèâåäåò èëè ê óâåëè÷åíèþ ìîùíî-
ñòè (âïëîòü äî çíà÷åíèÿ 1), èëè ðàçìåð êðèòåðèÿ ñòàíåò ðàâíûì çàäàííîìó
óðîâíþ α. Òàêèì îáðàçîì, èëè E 0 ϕ∗ (X) = α, èëè E 0 ϕ∗ (X) = 1.                          2

     Ñëåäñòâèå 7.1. Ïóñòü       m    ìîùíîñòü íàèáîëåå ìîùíîãî êðèòåðèÿ óðîâ-

íÿ    α   äëÿ ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû        H0 :    ðàñïðåäåëåíèå     X    åñòü   P0   ïðè

àëüòåðíàòèâå         H1 : ðàñïðåäåëåíèå X      åñòü   P1 .   Òîãäà   α < m,   çà èñêëþ÷å-

íèåì ñëó÷àÿ         P 0 = P1 .
     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê êðèòåðèé ϕ ≡ α èìååò ìîùíîñòü, ðàâíóþ
α, òî, î÷åâèäíî, α 6 m. Åñëè α = m < 1, òî êðèòåðèé ϕ ≡ α îêàçûâà-
åòñÿ íàèáîëåå ìîùíûì, è â ñèëó óòâåðæäåíèÿ ( iii ) Ëåììû 7.1 îí äîëæåí
óäîâëåòâîðÿòü (7.2). Íî òîãäà p 0 (x) = k p1 (x) äëÿ ïî÷òè âñåõ x ïî ìåðå µ.
Ïîñêîëüêó                       Z               Z
                           1=       p0dµ = k          p1 d µ = k,
                                X                X
òî p 0 (x) = p1 (x) äëÿ ïî÷òè âñåõ x ïî ìåðå µ. Ñëåäîâàòåëüíî, P0 = P1 .
2

     Ëåììà ÍåéìàíàÏèðñîíà è ñëåäñòâèå 7.1 äàþò ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ðàâíî-
ìåðíî íàèáîëåå ìîùíûõ êðèòåðèåâ. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé ïðîâåðêè
ñëîæíîé ãèïîòåçû H0 : θ 6 θ 0 ïðè àíàëîãè÷íîé îäíîñòîðîííåé àëü-
òåðíàòèâå H1 : θ > θ 0 îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ïàðàìåòðà θ ∈ Θ ⊆ R.
Îäíàêî äàæå â ýòîì ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ïîñòðîèòü ÐÍÌ êðèòåðèé óäàåòñÿ


                                          89

Страницы