Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

m(θ) = E
θ
ϕ(X), ϕ.
θ
m(θ)
Θ
0
Θ
1
.
α(θ) = m(θ) θ ∈ Θ
0
β(θ) = 1 − m(θ)
θ ∈ Θ
1
. α(θ), θ ∈ Θ
0
H
0
, (θ ∈ Θ
0
β(θ), θ ∈ Θ
1
H
0
,
H
1
: θ ∈ Θ
1
). m(θ)
Θ
1
H
0
,
θ ∈ Θ
1
, m(θ) θ ∈ Θ
1
ϕ m(θ), θ ∈ Θ
1
.
α(θ) = P
θ
(X ∈ S), θ ∈ Θ
0
,
S,
A
β(θ) = P
θ
(X ∈ A), θ ∈ Θ
1
.
θ
H
0
,
m(θ) = Eθ ϕ(X), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ìîùíîñòè êðèòåðèÿ ϕ.
Ýòà ôóíêöèÿ óêàçûâàåò, êàê ÷àñòî ìû îòêëîíÿåì íóëåâóþ ãèïîòåçó, êîãäà
θ  èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, è õîðîøèì ñëåäóåò ñ÷èòàòü òîò êðèòåðèé,
ó êîòîðîãî ôóíêöèÿ m(θ) ïðèíèìàåò áëèçêèå ê íóëþ çíà÷åíèÿ â îáëàñòè
Θ0 è áëèçêèå ê åäèíèöå  â îáëàñòè Θ1 . Â ñâÿçè ñ ýòèì ââîäÿòñÿ äâå êîì-
ïîíåíòû ôóíêöèè ðèñêà: α(θ) = m(θ) ïðè θ ∈ Θ0 è β(θ) = 1 − m(θ)
ïðè θ ∈ Θ1 . Ôóíêöèÿ α(θ), θ ∈ Θ0 íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè
ïåðâîãî ðîäà  îíà óêàçûâàåò îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó îòêëîíåíèÿ ãèïîòåçû
H0 , êîãäà îíà â äåéñòâèòåëüíîñòè âåðíà (θ ∈ Θ0 ). Ôóíêöèÿ β(θ), θ ∈ Θ1
íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè âòîðîãî ðîäà  îíà óêàçûâàåò îòíîñè-
òåëüíóþ ÷àñòîòó ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû H0 , êîãäà îíà ëîæíà (âåðíà àëüòåð-
íàòèâíàÿ ãèïîòåçà H1 : θ ∈ Θ1 ). Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ìîùíîñòè m(θ) â
îáëàñòè Θ1 òðàêòóåòñÿ êàê âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ ãèïîòåçû H0 , êîãäà â
äåéñòâèòåëüíîñòè âûáîð èäåò èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ àëüòåðíàòèâíûì çíà÷å-
íèåì θ ∈ Θ1 , è ïîýòîìó ÷àñòü m(θ) ïðè θ ∈ Θ1 íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ
êðèòåðèÿ ϕ è îáîçíà÷àåòñÿ m(θ), θ ∈ Θ1 .
  Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå íàáëþäåíèé íåâîçìîæ-
íî îäíîâðåìåííî ìèíèìèçèðîâàòü âåðîÿòíîñòè îáåèõ îøèáîê. Ýòî îñîáåí-
íî ÿñíî â ñëó÷àå íåðàíäîìèçèðîâàííîãî êðèòåðèÿ: äëÿ óìåíüøåíèÿ âåðî-
ÿòíîñòè îøèáêè ïåðâîãî ðîäà α(θ) = Pθ (X ∈ S), θ ∈ Θ0 , íåîáõîäèìî
óìåíüøèòü êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü S, ÷òî ïðèâåäåò ê óâåëè÷åíèþ îáëàñòè
A ïðèíÿòèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû è, ñëåäîâàòåëüíî, ê óâåëè÷åíèþ âåðîÿòíî-
ñòè îøèáêè âòîðîãî ðîäà β(θ) = Pθ (X ∈ A), θ ∈ Θ1 . Çäåñü âîçíèêàåò òàêàÿ
æå ñèòóàöèÿ, ÷òî è â ïðîáëåìå ïîñòðîåíèÿ îöåíêè ïàðàìåòðà θ ñ ðàâíî-
ìåðíî ìèíèìàëüíûì ðèñêîì,  òàêèå îöåíêè ñóùåñòâóþò òîëüêî â îïðå-
äåëåííîì êëàññå ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðàâèë, íàïðèìåð â êëàññå íåñìåùåííûõ
îöåíîê. Îäíàêî äàæå è ïîìèìî çàäà÷è ïðîâåðêè ãèïîòåç ñ ìèíèìàëüíîé
âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè, è íàìíîãî ðàíüøå ñîçäàíèÿ îáùåé òåîðèè íàèáî-
ëåå ìîùíûõ êðèòåðèåâ â ñòàòèñòè÷åñêîé ïðàêòèêå ñëîæèëñÿ ñëåäóþùèé
ïîäõîä ê óïðàâëåíèþ ðèñêîì êðèòåðèÿ.
  Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòêëîíåíèå ãèïîòåçû H0 , êîãäà îíà â äåéñòâèòåëüíî-
ñòè âåðíà, ïðèâîäèò ê áîëåå òÿæêèì ïîñëåäñòâèÿì, ÷åì åå ïðèíÿòèå ïðè
ñïðàâåäëèâîñòè àëüòåðíàòèâû.  òàêîì ñëó÷àå ìû çàèíòåðåñîâàíû â ïåð-

                                   84

Страницы