Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Θ
d
Θ,
θ.
Θ
i
= Θ
d
i
, i = 0, 1,
H
0
: θ ∈ Θ
0
H
1
: θ ∈ Θ
1
H
i
Θ
i
Θ H
i
i = 0, 1.
H
0
,
H
1
H
1
ϕ(X) = ϕ(d
1
|X) :
x ϕ(x)
H
0
H
1
ϕ(x), x ∈ X,
ϕ(x) ϕ
ϕ(x)
S = {x : ϕ(x) = 1} X
x
H
0
H
1
. A = S
c
= X \S
H
i
,
θ ∈ Θ
1−i
, i = 0, 1; H
i
θ ∈ Θ
i
, i = 0, 1,
θ
ïîäìíîæåñòâî Θd ïðîñòðàíñòâà Θ, òî åñòü èíòåðïðåòèðóåì êàæäîå ðå-
øåíèå â òåðìèíàõ âûñêàçûâàíèé îá èñòèííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà θ. Â
íàøåé ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîáëåìå âûáîðà îäíîãî èç äâóõ ðåøåíèé ïîëîæèì
Θi = Θdi , i = 0, 1, è ââåäåì ðÿä ïîíÿòèé è îïðåäåëåíèé, èñïîëüçóåìûõ
ïðè ðåøåíèè ýòîé ïðîáëåìû.

  Óòâåðæäåíèå H0 : θ ∈ Θ0 íàçûâàåòñÿ íóëåâîé ãèïîòåçîé, à óòâåðæäå-
íèå H1 : θ ∈ Θ1  àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçîé èëè (êîðîòêî) àëüòåðíàòè-
âîé. Ãèïîòåçà Hi íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùåå Θi ñîñòîèò
èç îäíîé òî÷êè ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Θ ; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå Hi
íàçûâàåòñÿ ñëîæíîé ãèïîòåçîé; i = 0, 1.
  Ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó ïðèíèìàåòñÿ èëè îòâåðãàåòñÿ íóëåâàÿ ãèïîòåçà
H0 , íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì. Èíîãäà äîáàâëÿåòñÿ  êðèòåðèé ñîãëàñèÿ (ñ
íóëåâîé ãèïîòåçîé), îñîáåííî, êîãäà àëüòåðíàòèâà H1 îïðåäåëåíà íå ñî-
âñåì ÷åòêî è ïîä H1 ïîäðàçóìåâàåòñÿ âñå îñòàëüíîå".  ñëó÷àå ïîëíîãî
ðàâíîïðàâèÿ ãèïîòåç ãîâîðÿò î êðèòåðèè ðàçëè÷åíèÿ ãèïîòåç. Êðèòåðèé
îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòè ϕ(X) = ϕ(d1 | X) : ïðè ðå-
çóëüòàòå x ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ϕ(x) îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü, ñ
êîòîðîé îòâåðãàåòñÿ íóëåâàÿ ãèïîòåçà H0 (ïðèíèìàåòñÿ àëüòåðíàòèâà H1 )
ñ ïîìîùüþ ïðîâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîöåäóðû ðàíäîìèçàöèè. Ôóíê-
öèÿ ϕ(x), x ∈ X, ïîýòîìó íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé ôóíêöèåé èëè, ïðîñòî,
êðèòåðèåì ( ϕ(x) êðèòèêóåò íóëåâóþ ãèïîòåçó). Åñëè ïðàâèëî ϕ íåðàí-
äîìèçèðîâàíî, òî åñòü ϕ(x) ïðèíèìàåò òîëüêî çíà÷åíèÿ 0 èëè 1, òî ïîä-
ìíîæåñòâî S = {x : ϕ(x) = 1} âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà X íàçûâàåòñÿ
êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ: åñëè âûáîðî÷íûå äàííûå x ïîïàäàþò â ýòó îá-
ëàñòü, òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà H0 îòêëîíÿåòñÿ è ïðèíèìàåòñÿ àëüòåðíàòèâíîå
ðåøåíèå  ñïðàâåäëèâà H1 . Îáëàñòü A = S c = X \ S íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ
ïðèíÿòèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû.
   ðàññìàòðèâàåìîé ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîáëåìå âåëè÷èíà ðèñêà, ñâÿçàííàÿ
ñ îòêëîíåíèåì âåðíîé ãèïîòåçû, îáû÷íî ñîîòíîñèòñÿ ñ ôóíêöèåé ïîòåðü
òèïà 01: ïîòåðè ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè 1, åñëè ïðèíÿòà ãèïîòåçà Hi , à â äåé-
ñòâèòåëüíîñòè θ ∈ Θ1−i , i = 0, 1; åñëè æå ïðèíÿòà Hi è θ ∈ Θi , i = 0, 1, òî
ïîòåðè ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âåëè÷èíà ðèñêà ïðè
ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà θ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè

                                     83

Страницы