Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p(ω) = 2
−n
ω ∈ Ω
A B
1/2
n−1
1 − 1/2
n−1
n = 10 P (A) = 1/512
P (B) = 511/512 B
A.
p(ω) = 1/6 p(ω) = 1/36
ω ∈ Ω
ω
1
p
1
= p(ω
1
) = 1/2
ω
2
p
2
= p(ω
2
) = 1/4 n = 1, 2, . . .
, . . . , n −1
n
p
n
= p(ω
n
) = 2
−n
∞
X
n=1
p
n
=
∞
X
n=1
2
−n
= 1.
öèôð, õîòÿ, î÷åâèäíî, âñå áèëåòû èìåþò îäèíàêîâûé øàíñ áûòü âûèãðûø-
íûìè. Â ïîñëåäíåì ëåãêî óáåäèòüñÿ, íàáëþäàÿ, êàê ïðîèñõîäèò ðîçûãðûø
ëîòåðåéíûõ áèëåòîâ, òî åñòü êàê îáåñïå÷èâàåòñÿ ðàâíîâåðîÿòíîñòü áèëå-
òîâ âíå çàâèñèìîñòè îò èõ íîìåðîâ. Èòàê, â ïðèìåðå 1.5 âåðîÿòíîñòíàÿ
ìîäåëü îïðåäåëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòÿìè p(ω) = 2−n , êàêîâî áû íè áûëî ω ∈ Ω.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòîé, ïîäòâåðæäàåìîé ðåàëüíûìè ñòàòèñòè÷åñêèìè ýêñ-
ïåðèìåíòàìè, ìîäåëüþ âåðîÿòíîñòè óïîìÿíóòûõ ñîáûòèé A è B ðàâíû ñî-
îòâåòñòâåííî 1/2n−1 è 1 − 1/2n−1 . Íàïðèìåð, ïðè n = 10 P (A) = 1/512,
à P (B) = 511/512, òàê ÷òî ñîáûòèå B ïðîèñõîäèò â 511ðàçà ÷àùå, ÷åì
ñîáûòèå A.
   Ïðèíöèï ñèììåòðèè òàêæå ïðèìåíÿåòñÿ è â ïîñòðîåíèè âåðîÿòíîñò-
íîé ìîäåëè èñïûòàíèé ïðàâèëüíîé êîñòè (ïðèìåðû 1.3 è 1.4). Åñòåñòâåííî,
âñå ãðàíè èìåþò îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ÷åì
p(ω) = 1/6 â ïðèìåðå 1.3 è p(ω) = 1/36 â ïðèìåðå 1.2, êàêîâî áû íè áû-
ëî ω ∈ Ω. Îäíàêî íå ñëåäóåò èçëèøíå äîâåðÿòü ýòîé ìîäåëè íà ïðàêòèêå,
êîãäà âàì ïðèäåòñÿ èãðàòü â êîñòè ñ ïðèÿòåëåì èëè â êàçèíî. Ïðè ðàñ-
êîïêàõ åãèïåòñêèõ ïèðàìèä áûëè íàéäåíû èãðàëüíûå êîñòè ñî ñìåùåííûì
öåíòðîì òÿæåñòè, òàê ÷òî åùå çà òûñÿ÷åëåòèÿ äî íàøåé ýðû íàõîäèëèñü
âåñüìà èñêóøåííûå èñïûòàòåëè , ñïîñîáíûå óïðàâëÿòü ÷àñòîòîé ýëåìåí-
òàðíûõ èñõîäîâ.
   Ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé â ïðèìåðå 1.6 ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ
òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è â ïðèìåðàõ 1.1, 1.2 è 1.5. Äåéñòâèòåëüíî, îñóùå-
ñòâëåíèå ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ω1 îçíà÷àåò âûïàäåíèå ãåðáà â îäíîêðàòíîì
ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû, òàê ÷òî (ñì. ïðèìåð 1.1) p1 = p(ω1 ) = 1/2. Ýëå-
ìåíòàðíûé èñõîä ω2 ñîâïàäàåò ñ ýëåìåíòàðíûì èñõîäîì ÐÃ â ïðèìåðå 1.2,
ñëåäîâàòåëüíî, p2 = p(ω2 ) = 1/4. Íàêîíåö, ïðè ïðîèçâîëüíîì n = 1, 2, . . .,
èñïîëüçóÿ âåðîÿòíîñòü ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ÐÐ, . . . , ÐÃ (ïåðâûå n − 1 èñ-
ïûòàíèé çàêîí÷èëèñü âûïàäåíèåì ðåøêè, à ïðè n-îì èñïûòàíèè âûïàë
ãåðá) â ïðèìåðå 1.5, ïîëó÷àåì pn = p(ωn ) = 2−n . Çàâåðøèâ ïîñòðîåíèå
âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè, óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà
                           ∞
                           X            ∞
                                        X
                                 pn =         2−n = 1.
                           n=1          n=1

   Èòàê, ïðè ïîñòðîåíèè âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé â ïðèìåðàõ 1.11.6 ìû ñó-
ùåñòâåííî èñïîëüçîâàëè ôèçè÷åñêóþ ïðèðîäó îáúåêòîâ, ñ êîòîðûìè ïðî-
âîäèëèñü ýêñïåðèìåíòû,  ìîíåòà è êîñòü áûëè ïðàâèëüíûìè (ñèììåòðè-
÷íûìè), è òîëüêî ýòî ñâîéñòâî ïîçâîëèëî íàì ïðèïèñàòü îäèíàêîâûå âåðî-

                                        10

Страницы