Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

M N −M
n m
A
C
n
N
1/C
n
N
.
n
m n − m
max(0, n − (N − M)) ≤ m ≤ min(n, M), −
n M,
M n N −
M, m n−(N −M).
M m
C
m
M
. N − M
n − m C
n−m
N−M
A,
C
m
M
· C
n−m
N−M
,
P (A) =
C
m
M
C
n−m
N−M
C
n
N
.
X,
p
m
= P (X = m|N, M, n)
m
P
p
m
m,
óðíû. Ïðîñòåéøàÿ èç òàêèõ óðíîâûõ ñõåì ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Èç óðíû,
ñîäåðæàùåé M ÷åðíûõ è N − M áåëûõ, øàðîâ ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòáèðà-
åòñÿ n øàðîâ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî âûáîðêà ñîäåðæèò m ÷åðíûõ øàðîâ
(ñîáûòèå A)?
                                                                      n
   Â ýòîì ýêñïåðèìåíòå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ñîñòîèò èç CN
èñõîäîâ (øàðû îäèíàêîâîãî öâåòà íå ðàçëè÷àþòñÿ), è ñëó÷àéíîñòü îòáîðà
                                                                     n
îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíòàðíûå èñõîäû èìåþò îäíó è òó æå âåðîÿòíîñòü 1/CN  .
Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ïîäñ÷åòó ÷èñëà âûáîðîê èç n
øàðîâ, êîòîðûå ñîäåðæàò m ÷åðíûõ è n − m áåëûõ. Î÷åâèäíî,

             max(0, n − (N − M )) ≤ m ≤ min(n, M ), −                (1)

åñëè îáúåì âûáîðêè n ïðåâûøàåò ÷èñëî ÷åðíûõ øàðîâ M, òî ìû íå ñìîæåì
âûáðàòü áîëåå ÷åì M ÷åðíûõ, è åñëè n áîëüøå, ÷åì ÷èñëî áåëûõ øàðîâ N −
M, òî ÷èñëî m ÷åðíûõ øàðîâ â âûáîðêå íå ìîæåò áûòü ìåíüøå n−(N −M ).
   Èç M ÷åðíûõ øàðîâ âûáèðàåòñÿ m øàðîâ òîãî æå öâåòà, è ÷èñëî âñåâîç-
                                        m
ìîæíûõ ñïîñîáîâ òàêîãî âûáîðà ðàâíî CM    . Àíàëîãè÷íî, èç N − M áåëûõ
                                                    n−m
øàðîâ n − m øàðîâ òîãî æå öâåòà ìîæíî âûáðàòü CN     −M ñïîñîáàìè. Ñëå-
äîâàòåëüíî, îáùåå ÷èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, ðàâíî
CMm
    · CNn−m
         −M , è èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü

                                  m n−m
                                 CM CN −M
                         P (A) =          .                          (2)
                                    CNn
   Ãîâîðÿò, ÷òî ôîðìóëà (2) îïðåäåëÿåò ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëå-
íèå öåëî÷èñëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèå èç îá-
ëàñòè (1),  âåðîÿòíîñòü pm = P (X = m|N, M, n) ðàâíà ïðàâîé ÷àñòè (2)
                                P
ïðè ëþáîì m èç îáëàñòè (1) è      pm ïî âñåì m, óäîâëåòâîðÿþùèì (1),
ðàâíà 1.
   Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ íà ïðèìåíåíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.
   1. Âûèãðûø â ëîòåðåå Ñïîðòëîòî 6 èç 49 .  íà÷àëå 70-õ ãîäîâ ïîëó-
÷èëà ðàñïðîñòðàíåíèå ðàçíîâèäíîñòü ëîòåðåè, íîñÿùàÿ íàçâàíèå ñïîðòëî-
òî . Ó÷àñòíèê ëîòåðåè èç 49 âèäîâ ñïîðòà, îáîçíà÷åííûõ ïðîñòî öèôðà-
ìè, íàçûâàåò øåñòü. Âûèãðûø îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ñêîëüêî íàèìåíîâàíèé
îí óãàäàë èç øåñòè äðóãèõ íàèìåíîâàíèé, êîòîðûå áûëè çàðàíåå âûäåëåíû
êîìèññèåé. Ñïðàøèâàåòñÿ, êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ó÷àñòíèê óãàäàåò
âñå øåñòü íàèìåíîâàíèé, ïÿòü íàèìåíîâàíèé è ò.ä.

                                   14

Страницы