Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X.
X,
N
N
M
n
n m
M n,
m X,
N P (X = m|N, M, n).
ˆ
N
N,
m X.
N
ˆ
N = arg max
N
C
m
M
C
n−m
N−M
C
n
N
.
N,
ñî çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Íî â åñòåñòâåííûõ íàóêàõ (ôèçèêà,
áèîëîãèÿ, ýêîíîìèêà è ïð.) îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü îáðàòíûå çàäà÷è 
íàáëþäàÿ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, èññëåäîâàòåëü ñòðåìèòñÿ ñäå-
ëàòü îïðåäåëåííîå çàêëþ÷åíèå î íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðàõ âåðîÿòíîñòíîé
ìîäåëè. Ðåøåíèåì òàêèõ îáðàòíûõ çàäà÷ çàíèìàåòñÿ ðîäñòâåííàÿ òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé íàóêà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ñëåäóþùèé ïðèìåð
èëëþñòðèðóåò îäèí èç òèïè÷íûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïî îöåíêå ïàðà-
ìåòðà âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè.
   Ïðîáëåìà ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ÷èñëåííîñòè N ðûá, æèâóùèõ íà ìî-
ìåíò íàáëþäåíèÿ â çàìêíóòîì âîäîåìå, ñêàæåì, â ïðóäó ðûáîâîäíîãî õî-
çÿéñòâà. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ (òî÷íåå, ïðèáëèæåííîé îöåíêè) N èññëåäîâàòåëü
îòëàâëèâàåò çàäàííîå êîëè÷åñòâî M ðûá, ìåòèò èõ êàêèì-ëèáî ñïîñîáîì
è âîçâðàùàåò â ïðóä. Ïî èñòå÷åíèè íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, êî-
ãäà, ïî åãî ìíåíèþ, ìå÷åíûå ðûáû ïåðåìåøàëèñü ñ äðóãèìè îáèòàòåëÿìè
ïðóäà, îí ñíîâà îòëàâëèâàåò ôèêñèðîâàííîå êîëè÷åñòâî n ðûá (â ìàòåìà-
òè÷åñêîé ñòàòèñòèêå ýòà ïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ èçâëå÷åíèåì âûáîðêè îáú-
åìà n èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè) è ïîäñ÷èòûâàåò ÷èñëî m îòìå÷åííûõ
ðûá, ïîïàâøèõ âî âòîðîé óëîâ.  ðàìêàõ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè òà-
êîãî ýêñïåðèìåíòà ìû ðàñïîëàãàåì çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ M è n, çíàåì
ðåçóëüòàò m íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, íî íå çíàåì çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðà N ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ P (X = m|N, M, n).
   Îäèí èç îñíîâíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷ òåîðèè âåðîÿòíî-
ñòåé (çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè), êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ñîñòîèò â âûáîðå òàêîãî çíà÷åíèÿ N̂ ïà-
ðàìåòðà N, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìóìó âåðîÿòíîñòè íàáëþäàåìîãî
èñõîäà m â íàáëþäåíèè X. Îñíîâíîé äîâîä â ïîëüçó òàêîãî ïîâåäåíèÿ ñòà-
òèñòèêà ñîñòîèò â ïðîñòîì æèòåéñêîì íàáëþäåíèè: åñëè ïðîèñõîäèò êàêîå-
ëèáî ñîáûòèå, òî ýòî ñîáûòèå äîëæíî èìåòü áîëüøóþ âåðîÿòíîñòü ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ äðóãèìè èñõîäàìè ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà.
   Èòàê, ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïðåäëàãàåò â êà÷åñòâå îöåí-
êè íåèçâåñòíîãî çíà÷åíèÿ N (÷èñëåííîñòè ðûá â ïðóäó) âçÿòü ðåøåíèÿ
ñëåäóþùåé çàäà÷è íà ýêñòðåìóì:
                                     m n−m
                                    CM CN −M
                       N̂ = arg max          .
                                 N     CNn
  Ðåøèòü ýòó çàäà÷ó ìîæíî ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèÿ N, ïðè êî-


                                  16

Страницы