Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C
m
M
C
n−m
N−M
C
n
N
<
C
m
M
C
n−m
N+1−M
C
n
N+1
(N + 1)m < nM,
ˆ
N =
·
n
M
m
¸
.
R
n
Ω µ(Ω). Ω
S ⊂ Ω.
S
Ω
µ(S). Ω
Ω
S P (S) = µ(S)/µ(Ω).
Ω
60 × 60, S
|x − y| ≤ 10.
òîðîì ïðîèñõîäèò ñìåíà íåðàâåíñòâà
                         m n−m      m n−m
                        CM CN −M   CM CN +1−M
                            n    <
                           CN         CNn +1
íà îáðàòíîå. Èñïîëüçóÿ èçâåñòíóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ áèíîìèàëü-
íûõ êîýôôèöèåíòîâ, íàõîäèì, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî
(N + 1)m < nM, îòêóäà ïîëó÷àåì îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
äëÿ ÷èñëåííîñòè ðûá â ïðóäó:
                                  ·   ¸
                                    M
                             N̂ = n     .
                                    m
  Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî òàêàÿ îöåíêà ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðîñòûìè ðàññóæäåíè-
ÿìè òèïà, åñëè ïðè ïîâòîðíîì îòëîâå ÿ îáíàðóæèë ïîëîâèíó îòìå÷åííûõ
ðûá, òî â ïðóäó èõ â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì ÿ ïîéìàë .
   Ç à ä à ÷ à 1.4. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè: çàäà÷à î âñòðå÷å. Äâà
÷åëîâåêà äîãîâîðèëèñü âñòðåòèòüñÿ â òå÷åíèå îïðåäåëåííîãî ÷àñà. Ïðåäëà-
ãàåòñÿ, ÷òî ìîìåíò ïðèõîäà êàæäîãî èç âñòðå÷àþùèõñÿ íå çàâèñèò îò íà-
ìåðåíèé äðóãîãî è èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå â íàçíà÷åííîì ïðî-
ìåæóòêå âñòðå÷è 60 ìèíóò (ìîìåíò ïðèõîäà ñëó÷àåí). Ïðèøåäøèé ïåðâûì
æäåò äðóãîãî òîëüêî 10 ìèíóò, ïîñëå ÷åãî óõîäèò (âñòðå÷à íå ñîñòîÿëàñü).
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü âñòðå÷è?
   Ýòî îäíà èç òèïè÷íûõ çàäà÷ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè, äëÿ ðåøå-
íèÿ êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìàëèçàöèÿ ïî-
íÿòèÿ ñëó÷àéíîñòè ìîìåíòà ïðèõîäà. Ðàññìîòðèì áîëåå îáùóþ (è áîëåå
àáñòðàêòíóþ) çàäà÷ó. Â ýâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rn âûäåëÿåòñÿ çàìêíó-
òàÿ îáëàñòü Ω êîíå÷íîé ëåáåãîâîé ìåðû µ(Ω). Íà îáëàñòü Ω ñëó÷àéíî áðî-
ñàåòñÿ òî÷êà, è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òî÷êà ïîïàäåò
â ïîäìíîæåñòâî S ⊂ Ω. Åñòåñòâåííî ôîðìàëèçîâàòü ïîíÿòèå ñëó÷àéíî-
ñòè â òåðìèíàõ íåçàâèñèìîñòè âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ òî÷êè â S îò ïîëî-
æåíèÿ ýòîãî ìíîæåñòâà â îáëàñòè Ω è åãî êîíôèãóðàöèè, è ïîñòóëèðîâàòü,
÷òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà µ(S).  òàêîì ñëó÷àå Ω èãðàåò
ðîëü ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè â
Ω äîëæíà ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå, òàê ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ìíîæåñòâî
S ðàâíà P (S) = µ(S)/µ(Ω).
   Èñïîëüçóåì ýòîò ìåòîä â ðåøåíèè çàäà÷è î âñòðå÷å. Çäåñü Ω  êâàäðàò
60 × 60, ìíîæåñòâî S  ïîëîñà âäîëü äèàãîíàëè êâàäðàòà, êîòîðóþ â äå-
êàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìîæíî çàäàòü â âèäå îáëàñòè |x − y| ≤ 10.

                                   17

Страницы