Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

N = 49, M = 6
n = 6 m(= 1, . . . , 6)
m
P (X = m|49, 6, 6) =
C
m
6
C
6−m
43
C
6
49
.
m = 6
C
6
6
C
0
43
/C
6
49
= 1/C
6
49
= 6!43!/49! ≈ 7.2 · 10
−8
.
N
N M(< N)
M/N.
P (X = M −1|N, M, N −1) N −1
n = N −1 m = M −1
P (X = M − 1|N, M, N − 1) =
C
M−1
M
C
(N−1)−(M−1)
N−M
C
N−!
N
=
C
M−1
M
C
N−1
N
=
M
N
,
M/N.
N, M n,
   Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê çàäà÷à î ãèïåðãåîìåòðè-
÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè, ãäå N = 49, M = 6 (óãàäûâàåìûå íîìåðà  ÷åðíûå
øàðû), n = 6 è m(= 1, . . . , 6)  ÷èñëî óãàäàííûõ íîìåðîâ. Âåðîÿòíîñòü
óãàäàòü m íîìåðîâ ðàâíà
                                                 6−m
                                           C6m C43
                      P (X = m|49, 6, 6) =      6    .
                                              C49
Íàïðèìåð, âåðîÿòíîñòü ìàêñèìàëüíîãî âûèãðûøà (m = 6) ðàâíà
               C66 C43
                    0    6
                       /C49      6
                            = 1/C49 = 6!43!/49! ≈ 7.2 · 10−8 .
Ýòî ìåíüøå îäíîé äåñÿòèìèëëèîííîé(!)  øàíñû íà âûèãðûø íè÷òîæíû.
   2. Êàê âûòàùèòü ñ÷àñòëèâûé áèëåò íà çêçàìåíå? Ãðóïïà èç N ñòóäåí-
òîâ ñäàåò ýêçàìåí, íà êîòîðîì êàæäîìó ñòóäåíòó ïðåäëàãàåòñÿ âûáðàòü
íàóãàä îäèí èç N áèëåòîâ. Ñòóäåíò Ïåòðîâ çíàåò M (< N ) áèëåòîâ, è
ñ÷èòàåò, ÷òî åñëè îí ïîéäåò ñäàâàòü ýêçàìåí ïåðâûì, òî øàíñîâ âûòÿ-
íóòü ñ÷àñòëèâûé áèëåò ó íåãî íåñîìíåííî áîëüøå, ÷åì åñëè îí ïîéäåò îò-
âå÷àòü ïîñëåäíèì (åãî äîâîäû â ïîëüçó ýòîãî  âñå ñ÷àñòëèâûå áèëåòû
áóäóò ðàçîáðàíû ). Ïðàâ ëè Ïåòðîâ?
   Åñëè Ïåòðîâ ïîéäåò ïåðâûì, òî âåðîÿòíîñòü âûáîðà ñ÷àñòëèâîãî áèëåòà
ðàâíà, î÷åâèäíî, M/N. Åñëè æå Ïåòðîâ èäåò ïîñëåäíèì, òî ìû ìîæåì ïðè
ðàñ÷åòå âåðîÿòíîñòè âîñïîëüçîâàòüñÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíè-
åì P (X = M − 1|N, M, N − 1)  ïðåäøåñòâóþùèå Ïåòðîâó N − 1 ñòóäåíòîâ
(îáúåì âûáîðêè n = N − 1) äîëæíû âûáðàòü ðîâíî m = M − 1 ñ÷àñòëèâûõ
áèëåòîâ, è òîãäà Ïåòðîâó, êîòîðûé ñäàåò ïîñëåäíèì, äîñòàíåòñÿ ñ÷àñòëè-
âûé áèëåò. Èìååì
                                     M −1   (N −1)−(M −1)     M −1
                                    CM    CN −M              CM     M
    P (X = M − 1|N, M, N − 1) =                             = N −1 = ,
                                            CNN −!           CN     N
òàê ÷òî øàíñû âûáðàòü ñ÷àñòëèâûé áèëåò îäèíàêîâû. Íåòðóäíî, ïðîèçâîäÿ
àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè, óáåäèòüñÿ, ÷òî øàíñû âûáðàòü ñ÷àñòëèâûé áèëåò
âîîáùå íå çàâèñÿò îò òîãî, êàêèì ïî ñ÷åòó ïðèäåò Ïåòðîâ íà ýêçàìåí,  îíè
âñåãäà îäíè è òå æå M/N.
  3. Îöåíêà ÷èñëåííîñòè çàìêíóòîé ïîïóëÿöèè æèâîòíûõ (ìåòîä ìàêñè-
ìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðåäûäóùèå äâà ïðèìåðà èëëþñòðèðîâàëè ïðè-
ìåíåíèå âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ê ðå-
øåíèþ, òàê íàçûâàåìûõ, ïðÿìûõ çàäà÷ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé: çíàÿ ïàðà-
ìåòðû ìîäåëè N, M è n, ìû îïðåäåëÿëè âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ

                                     15

Страницы