ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
.YY
o
δ
=∆ (3.11)
3.2. Примеры оценки погрешностей косвенных измерений
Пример 1. Оценим погрешность измерения объема цилиндра по
расчетной формуле
.
4
2
hdv
π
=
Результаты прямых измерений диаметра и высоты цилиндра считаем
известными:
.;
oo
hhhddd ∆±=∆±=
Для оценки погрешности удобно воспользоваться выражением (3.10).
Сравнивая формулу вычисления объема цилиндра с (3.8), получим
.1;2;
4
=== nmk
π
Тогда для относительной погрешности имеем
,2
22
∆
+
∆
=
∆
=
h
h
d
d
V
V
ooo
δ
откуда абсолютная погрешность
()
.2
4
22
2
∆
+
∆
==∆
h
h
d
d
hdVV
oo
o
π
δ
Пример 2. Если расчетная формула, приводимая в лабораторной
работе, по своей структуре близка к выражению (3.8) и легко подвер-
гается логарифмированию, то формулу для относительной погрешно-
сти можно получить, выполняя последовательно следующие опера-
ции:
– взять натуральный логарифм исходного выражения;
15
3. Оценка погрешностей косвенных измерений
3.1. Вывод рабочих формул
При косвенных измерениях искомая физическая величина
Y являет-
ся функцией нескольких независимых переменных, и ее обычно вы-
числяют по соответствующей формуле, в которую подставляют ре-
зультаты прямых измерений физических величин (
А,В,С и т.д.):
Y= f(A,B,C,…). (3.1)
Значения
А,В,С,... измеряют один или несколько раз, обрабатывают по
правилам оценки погрешностей прямых измерений и записывают сле-
дующим образом:
0
aaA
∆
±
=
;
0
bbB ∆±= ;
0
ccc
∆
±
=
,
где
a , b , c ,. . . – средние арифметические значения прямых измере-
ний величин
А, В, С,...;
∆
a
0
,
∆
b
0
,
∆
c
0,
… – абсолютные погрешности
этих измерений.
Искомую физическую величину также записывают в виде
0
YYY ∆±= , (3.2)
где
Y
– результат подстановки в (3.1) значений a , b , c , . . . , т.е.
(
)
. . ,.c ,b ,afY =
;
0
Y
∆
– абсолютная погрешность косвенного измере-
ния величины
Y.
Для отыскания абсолютной погрешности
∆
Y
0
воспользуемся
выражением для полного дифференциала функции нескольких пере-
менных:
+
′
+
′
+
′
=
dCfdBfdAfdY
cba
. . . (3.3)
Величины
cb
f ,f ,
′
′
′
a
f , . . . называются частными производными функции
(3.1). Частная производная имеет смысл быстроты изменения
Y при
изменении какой-либо одной из величин
А, В, С,... Например,
AYf
a
∂
∂
=
′
/ при B = const, C = const.
