ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16
Частные производные вычисляют в окрестностях точки
Y
Y
=
.
Вместо величин
А,В,С,... берут их средние арифметические значения
c ,b ,a , . . . Обозначим эти частные производные следующим образом:
()
()
()
........................
; . . . ,c ,b ,
; . . . ,c ,b ,
; . . . ,c ,b ,
afK
afK
afK
cc
bb
aa
′
=
′
=
′
=
(3.4)
Теперь выражение (3.3) примет вид
...
a
+
++
=
dcKdbKdaKdY
cb
. (3.5)
Формула (3.5) дает математическую связь между бесконечно малыми
изменениями
da,db,dc,... аргументов вблизи ,...,, cba и бесконечно ма-
лым приращением
dY вблизи
Y
Y
= .
Если в выражении (3.5) заменить справа бесконечно малые прира-
щения
da,db,dc,... на конечные приращения ,...,,,
ooo
cba
∆
±
∆
±
∆
±
то то-
гда слева также будет конечное приращение величины
Y:
...
a
±
∆±∆±
∆
±
=
∆
ocobo
cKbKaKY
Поскольку знаки у членов справа не определены,
∆
Y в этой формуле
также является неопределенным. Очевидно, если все конечные прира-
щения аргументов сложить по модулю, то получим максимальное зна-
чение погрешности
. . .+∆+∆+∆=∆
ocoboaмакс
cKbKaKY
Однако вероятность получить при измерениях максимальное значение
погрешности очень мала. Теория показывает, что наиболее вероятная
оценка абсолютной погрешности при косвенных измерениях определя-
ется выражением
()()
...)(
22
2
+∆+∆+∆=∆
ocoboao
cKbKaKY (3.6)
17
Относительная погрешность равна
YY
o
/∆=
δ
. (3.7)
В некоторых случаях формула для расчёта физической величины
может иметь вид
...
pnm
cbkaY = , (3.8)
где
k, m, n, p – любые числа: целые, дробные, рациональные и ирра-
циональные, положительные и отрицательные. Примером такой зави-
симости является выражение (1.1).
Вычислим частные производные функции (3.8) и подставим в них
средние арифметические значения измеренных величин
a,b,c,… Тогда
получим значения коэффициентов (3.4):
..........................................
,...)()()(
,...)()()(
,...)()()(
1
1
1
−
−
−
=
=
=
pnm
c
pnm
b
pnm
a
cbakpK
cbaknK
cbakmK
(3.9)
Подставим эти коэффициенты в формулу(3.6), а затем разделим ее
на значение
...)()()(
pnm
cbakY =
В результате получим формулу для относительной погрешности физи-
ческой величины, подчиняющейся зависимости (3.8):
...
222
+
∆
+
∆
+
∆
=
∆
=
c
c
p
b
b
n
a
a
m
Y
Y
oooo
δ
(3.10)
Как и следовало ожидать, относительная погрешность не зависит от
постоянного коэффициента
k в (3.8).
После вычисления относительной погрешности
δ
легко определить
абсолютную погрешность:
