Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 3 стр.

                                                                                                     x1 , x 2 , ..., xn .
             1. Задачи математической статистики
                                                                          Требуется оценить, хотя бы приближенно, неизвестные функции
                                                                          распределения F (x ) и плотности p (x ) .
     Математическая статистика – наука, изучающая методы иссле-
дования закономерностей в массовых случайных явлениях и процессах      2. Оценка неизвестных параметров распределения. Поясним задачу на
по данным, полученным из конечного числа наблюдений за ними.              примере нормального распределения генеральной совокупности, за-
   Построенные на основании этих методов закономерности относятся         висящей от двух параметров α и σ . Требуется на основании
не к отдельным испытаниям, из повторения которых складывается дан-        имеющихся данных приближенно найти значения этих параметров.
ное массовое явление, а представляют утверждения об общих вероят-         Для этого изучаются некоторые случайные величины и на основе их
ностных характеристиках данного процесса. Такими характеристиками         свойств определяется точность полученных оценок. Мы будем раз-
могут быть вероятности, плотности распределения вероятностей, мате-       личать два случая, когда имеется достаточно большое количество
матические ожидания, дисперсии и т.п.                                     статистических данных и когда их набор ограничен. Во втором слу-
   Найденные характеристики позволяют построить вероятностную             чае мы будем строить интервалы со случайными границами, на ко-
модель изучаемого явления. Применяя к этой модели методы теории ве-       торые попадают неизвестные параметры распределения.
роятностей, исследователь может решать технико-экономические зада-
                                                                       3. Проверка статистических гипотез. Предположим, например, что
чи, например, определять вероятность безотказной работы агрегата в
течение заданного отрезка времени. Таким образом, теория вероятно-        игральная кость подбрасывается n раз, причем ni (i = 1,...,6) озна-
стей по вероятностной модели процесса предсказывает его поведение, а      чает количество появлений i очков. Если кость симметрична, то
математическая статистика по результатам наблюдений за процессом          любое количество очков должно появиться практически одинаковое
строит его вероятностную модель. В этом состоит тесная взаимосвязь        число раз, как только n достаточно велико. Это следует из извест-
между данными науками.                                                    ной теоремы Бернулли, утверждающей, что относительная частота
   Очевидно, что для обнаружения закономерностей случайного массо-         ni                                                         ni
вого явления необходимо провести сбор статистических сведений, т.е.        n
                                                                              близка к вероятности    p = 16 . Однако между числами   n
                                                                                                                                         могут
сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых           быть различия. Возникает вопрос, насколько эти различия согласо-
явлений. Пусть, например, мы располагаем материалом о числе дефект-       ваны с гипотезой о симметричности игральной кости. Разработаны
ных изделий в изготовленной в определенных условиях партии продук-        методы, позволяющие дать ответы на подобные вопросы с заданной
ции. Проблемы возникают тогда, когда на основании этой информации         надежностью.
мы захотим сделать выводы относительно качества производства про-
дукции, выпускаемой предприятием. Нас может интересовать вероят-          При обращении к понятиям теории вероятностей мы будем опирать-
ность производства дефектного изделия, средняя долговечность всех      ся на учебное пособие Е.И. Тимошенко, Ю.Е. Воскобойников «Теория
выпускаемых изделий и т.д. Собранный материал рассматривается лишь     вероятностей» (Новосибирский государственный архитектурно строи-
как некоторая пробная группа, одна из многих возможных пробных         тельный университет, 1999).
групп. Конечно, выводы сделанные на основании этого ограниченного
числа наблюдений, отражают данное массовое явление лишь прибли-            2. Генеральная и выборочная совокупности.
женно. Математическая статистика указывает, как наилучшим способом             Выборочные характеристики
использовать имеющуюся информацию для получения по возможности
более точных характеристик массового явления.                              2.1. Генеральная и выборочная совокупности
   Конкретизируем задачи, решения которых будет рассмотрены в дан-          Для обнаружения закономерностей, описывающих исследуемое
ном пособии.                                                           массовое явление, необходимо иметь опытные данные, полученные в
1. Оценки неизвестной функции распределения и функции плотности.       результате обследования соответствующих объектов, отображающих
   По результатам n независимых испытаний над случайной величиной      массовое явление. Например, для определения плотности распределения
    X получены ее значения
                                   5                                                                           6