Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 4 стр.

диаметра прошлифованного валика необходимо располагать набором            того же содержания, т.е. три копии X 1 , X 2 , X 3 урны X . Выберем из
возможных значений его диаметра.
     Зачастую реально существующую совокупность объектов (напри-          каждой урны по одному шару. Получим выборку x1 , x 2 , x3 из гене-
мер, валики, изготовленные в течение января) можно мысленно допол-        ральной совокупности X .
нить любым количеством таких же однородных объектов (например,
валики, изготовленные в тех же условиях в феврале, марте и т.д.). Такие       2.2. Свойства выборочной совокупности
совокупности объектов будем называть генеральными совокупностями.              Для того чтобы по отобранным значениям некоторого количест-
     Каждой генеральной совокупности соответствует случайная вели-        венного показателя можно было достаточно уверенно судить обо всей
чина, определяемая изучаемым признаком объекта. В нашем примере –         совокупности, полученная выборка должна быть репрезентативной
это диаметр валика. Так как понятия генеральной совокупности и соот-      (представительной), т.е. правильно отражать пропорции генеральной
ветствующей случайной величины связаны с наблюдениями (измере-            совокупности. Предположим, например, что вся совокупность состоит
ниями) в неизменных условиях, то для ее обозначения (по аналогии с        из равного большого количества белых и черных шаров, помещенных в
курсом теории вероятностей) будем использовать прописные буквы ла-        ящик, на дне которого имеется отверстие. Если черные шары сосредо-
тинского алфавита (например, X , Y ).                                     точены в нижней части ящика, а белые – в верхней, то открывая некото-
     Часть отобранных объектов из генеральной совокупности называ-        рое небольшое количество раз заслонку в отверстии ящика, мы получим
ется выборочной совокупностью или выборкой.                               выборку только из черных шаров. На основании такого способа отбора
     Результаты измерений изучаемого признака n объектов выбороч-         шаров мы не сможем сделать правильных выводов о содержании всей
ной совокупности порождают n значений x1 ,x 2 ,..., x n случайной ве-     совокупности шаров, т.е. такая выборка не будет репрезентативной.
                                                                          Выборка будет представительной лишь тогда, когда все объекты гене-
личины X . Число n называется объемом выборки.                            ральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в вы-
     Наряду с генеральной совокупностью X будем рассматривать n           борку. Для этого шары должны быть перемешаны.
независимых случайных величин, обозначаемых той же буквой, что и               Другими словами, репрезентативность выборки обеспечивается
генеральная совокупность, и имеющих точно такое же распределение,         случайностью отбора объектов в выборку.
как генеральная совокупность. Итак, X 1 , X 2 ,..., X n – n независимых        Существует несколько способов отбора, обеспечивающих репре-
                                                                          зентативность выборки.
экземпляров X . Если F ( x ) – функция распределения генеральной со-
                                                                               Пусть небольшие по размеру объекты генеральной совокупности
вокупности X , то у каждой случайной величины X i функция распре-         находятся, например, в ящике. Каждый раз после тщательного переме-
                                                                          шивания (если оно не вызывает разрушение объектов) из ящиков науда-
деления также равна F ( x ) . Понятно, что получить n значений слу-
                                                                          чу берут один объект. Эту операцию повторяют до тех пор, пока не об-
чайной величины X все равно что получить одно значение n-мерной           разуется выборка нужного объема. Очевидно, что такая техника отбора
случайной величины ( X 1 , X 2 ,..., X n ). Поэтому каждую выборку        невозможна, если генеральная совокупность состоит из больших (по
                                                                          размерам) или хрупких объектов, например, из мощных электромото-
x1 , x 2 ,..., xn объема n мы можем рассматривать как одно значение n-    ров. В этих случаях поступают следующим образом. Все объекты гене-
мерной случайной величины ( X 1 ,..., X n ).                              ральной совокупности нумеруют и каждый номер записывается на от-
                                                                          дельную карточку. После этого карточки с номерами тщательно пере-
      Поясним сказанное на примере. Пусть X – дискретная случайная
                                                                          мешиваются и из пачки карточек выбирают одну. Объект, номер кото-
величина, принимающая значения 1,2,3,4,5,6, каждое с вероятностью
                                                                          рого совпал с номером выбранной карточки, включается в выборку.
p = 16 . Данную случайную величину, или в новой терминологии – ге-        Номера объектов можно "отбирать" с помощью таблиц случайных чи-
неральную совокупность, мы можем вообразить как урну, содержащую          сел – это целесообразно при большом объеме генеральной совокупно-
одинаковое количество шаров с номерами от 1 до 6. Производя выбор с       сти.
возвращением трёх шаров, и записывая их номера, мы получим выборку             Принципиально, что при отборе объектов в выборочную совокуп-
                                                                          ность возможны два варианта.
объема 3 из генеральной совокупности X . Вообразим себе три урны
                                    7                                                                        8