Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 34 стр.

   Предположим, что если верна гипотеза H 0 , то критерий К                                 Во втором случае правая граница критической области xпр ,α / 2 вы-
распределен по нормальному закону N(5,3) (т.е. математическое                            числяется из условия
                                  2
ожидание a = 5 , дисперсия σ = 89 ), а если верна конкурирующая                                                P( N ( 5.3 ) > x пр ,α ) = 0.025.
гипотеза H 1 , то критерий распределен по закону N(15,3). Требуется
                                                                                            Поэтому
вычислить мощность критерия m1 , когда в качестве критической
                                                                                                                    x пр ,α 2 − 5
рассматривается область больших значений, и мощность m2 , когда в                                                                 = 1.96 .
качестве критической рассматривается область больших по модулю                                                             3
значений. Уровень значимости α возьмем 0.05. В первом случае
границу правосторонней критической области найдем из условия                                Значит, x пр, α / 2 = 10.88 . Левая граница критической области сим-
                                                                                         метрична с точкой xпр ,α / 2 относительно точки x = 5 , т.е. левая гра-
                         P( N (5,9) > xпр,α ) = 0.05 ,
                                                                                         ница xпр ,α / 2 = 5 − 5.88 = 0.88 . Тогда вероятность ошибки             β 2 соста-
поэтому
                                                                                         вит
                                                               ⎛ x пр ,α − 5 ⎞
  (                 ) (                         )
P N ( 5.3 ) > x пр ,α = P x пр ,α < N ( 5.3 ) < ∞ =
                                                        1
                                                        2
                                                          − Φ ⎜⎜
                                                                       3
                                                                             ⎟ = 0.05.
                                                                             ⎟              β 2 = P( −0.88 < N ( 15,3 ) < 10.88 ) = Φ   (10.883 −15 ) − Φ (−0.883 −15 ) =
                                                               ⎝             ⎠
                                                                                            = Φ ( 5.29 ) − Φ ( 1.37 ) = 0.5 − 0.41147 = 0.0853.
            ⎛ xпр ,α − 5 ⎞                                                               Поэтому      мощность      критерия      во       втором        случае       равна
Значит, Φ ⎜⎜             ⎟⎟ = 0.45 . По таблицам значений функции Φ (x )
            ⎝      3      ⎠                                                              m2 = 1 − β 2 = 1 − 0.0853 = 0.9147 . Значит, односторонняя крити-
находим, что                                                                             ческая область больших значений является предпочтительной.
                                                                                            Э т а п 5 . В формулу критерия К, который является функцией п
                             xпр,α − 5
                                         = 1.64 .                                        случайных величин X 1 , X 2 ,..., X n , подставляются выборочные зна-
                                 3                                                       чения x1 , x 2 ,..., x n и подсчитывается числовое значение критерия
      Поэтому  границы    правосторонней     критической    области
                                                                                         K наб .
xпр,α = 9.92 . Чтобы вычислить ошибку второго рода β1 , нужно
                                                                                            Если K наб попадает в критическую область ω , то гипотеза H 0 от-
найти вероятность попадания в область допустимых значений
( − ∞ , 9.92 ) при условии, что гипотеза H 0 неверна. В этом случае                      вергается и принимается гипотеза H 1 . При этом можно допустить

считается справедливой гипотеза H 1 , а критерий будет распределен по                    ошибку первого рода с вероятностью α. Если K наб не попадает в кри-

закону N(15,3). Значит,                                                                  тическую область, гипотеза H 0 не отвергается. Однако это не означает,

                                            (       )
         β1 = P( N(15.3) < 9.92) = 0.5 +Φ 9.923−15 = 0.5 −Φ(1.69) =
                                                                                         что H 0 является единственной подходящей гипотезой: просто H 0 не
                                                                                         противоречит результатам наблюдений; возможно, таким же свойством
                          = 0.5 − 0.4545= 0.0455.                                        наряду с H 0 могут обладать и другие гипотезы.
                                                                                           Вновь обратимся к нашему примеру. Напомним, что из обследован-
и мощность критерия m1 = 1 − β1 = 0.955 .
                                                                                         ных 1000 человек признаки заболевания R были обнаружены у 120 че-

                                       67                                                                                       68