Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 36 стр.

   Остановимся на методике вычисления xпр ,α (которая будет исполь-                            Э т а п 3 . В качестве критерия (как в случае 1) возьмем величину
                                                                                           (5.11), которая при справедливости гипотезы (5.13) удовлетворяет
зована в дальнейшем для других критических точек). Вероятность со-
                                                                                           распределению N(0,1).
бытия N (0,1) ≤ xпр ,α можно представить как                                                   Этап        4 . Если нулевая и альтернативная гипотезы имеют
                                                                                           соответственно вид (5.13), (5.14), а критерий – вид (5.12), то
           0                     x пр ,α
                                                           1
                                                                                           критическая область будет левосторонней: ее образует интервал
           ∫ p N ( 0,1) ( x )dx + ∫ p N ( 0,1) ( x )dx =   2
                                                                + Φ ( xпр ,α ),            ( −∞, x лев ,α ) , где точка x лев ,α определяется из условия (5.7), которое
          −∞                       0
                                                                                           с учетом (5.12) запишем в виде
где       p N ( 0,1) ( x ) —   плотность            нормального        распределения
                                                                                                                    P( N (0,1) < x лев ,α ) = α .
N (0,1), Φ ( x ) — функция Лапласа (см. табл. П1). Следовательно, ве-
роятность противоположного события N (0,1) > xпр ,α выражается в                              Исходя из этого равенства найдем точку x лев ,α . Воспользуемся
виде                                                                                       табл. П1 и найдем такое число x ′ , для которого выполняется равенство

                     1−   [12 + Φ( xпр,α ),] = 12 − Φ( xпр,α )                                                            Φ (x ′) =    1
                                                                                                                                       2
                                                                                                                                           −α .
и эта вероятность должна быть равна             α.    Таким образом, приходим к            Затем определяем
уравнению
                                                                                                                         x лев ,α = − x ′ .
                               Φ ( xпр,α ) =    1
                                                2
                                                    −α .
                                                                                           Критическая область ( −∞, x лев ,α ) изображена на рис.5.1, б.
Воспользовавшись табл. П1, находим значение xпр ,α , удовлетворяю-                         Этап    5 . Находим числовое значение K наб критерия (5.11). Если
щее этому уравнению. Критическая область изображена на рис. 5.1, а.
                                                                                           K наб ≥ x лев ,α , то гипотеза Н 0 (5.13) не отвергается. Если
  Э т а п 5 . Используя вместо X 1 , X 2 ,..., X n конкретные числа,
                                                                                           K наб < x лев ,α , то гипотеза Н 0 (5.13) отвергается и принимается
находим xв (см.(2.10)), а затем численное значение K наб критерия
                                                                                           гипотеза Н 1 (5.14). Поступая таким образом, можем совершить ошибку
(5.11). Если K наб > xпр ,α , то гипотеза H 0 (5.9) отвергается и прини-
                                                                                           первого рода с вероятностью α .
мается гипотеза H 1 (5.10). Напомним, что поступая таким образом, мо-                         Случай 3.
жем совершить ошибку первого рода. Вероятность такой ошибки равна                             Э т а п 1 . Сформулируем нулевую гипотезу
α.
   Случай 2.
                                                                                                                         H 0 : a = a0                            (5.15)
   Э т а п 1 . Сформулируем нулевую гипотезу                                                  и альтернативную
                             H 0 : a = a0                      (5.13)
                                                                                                                         H1 : a ≠ a0 .                           (5.16)
и альтернативную
                                  H 0 : a < a0 .                                  (5.14)      Э т а п 2 . Зададимся уровнем значимости α .
      Э т а п 2 . Зададимся уровнем значимости             α.                                 Э т а п 3 . В качестве критерия, как и в случаях 1, 2, возьмем вели-
                                                                                           чину (5.11), которая при справедливости гипотезы (5.15) удовлетворяет
                                                                                           распределению N(0,1).
                                           71                                                                                     72