Составители:
Рубрика:
75 76
Случай 1. Альтернативная гипотеза
01
aa:H > . (5.22)
Критическая область является правосторонней: ее образует интервал
),(
,
+∞
α
пр
x , где точка
α
,пр
x определяется из условия (5.6), которое с
учетом (5.12) можно записать в виде
α
α
=>
−
)(
,1 прn
xTP
.
В табл. П2 приведены значения
),( kt
γ
, определяемые соотношением
∫
−
=
)k,(t
)k,(t
T
dx)x(P
γ
γ
γ
.
Так как функция плотности
t -распределения симметрична относитель-
но нуля, то искомая точка
α
,пр
x определяется как
)1,21(
,
−
−= ntx
пр
α
α
. (5.23)
Подставив в (5.20) конкретные значения
в
X , S , получаем значение
критерия
наб
K . Если
α
,прнаб
xK > (т.е. попадает в критическую об-
ласть), то гипотеза (5.19) отвергается и принимается гипотеза (5.22).
При этом возможна ошибка первого рода с вероятностью
α
.
Случай 2. Альтернативная гипотеза
01
aa:H < . (5.24)
Критическая область является левосторонней, ее образует интервал
),(
,
α
лев
x−∞ , где точка
α
,лев
x определяется из условия (5.7), которое
с учетом (5.21) записывается в виде
α
α
=
<
−
)(
,1 левn
xTP
.
Обращаясь к табл. П2, находим
)1,21(
,
−−−= ntx
лев
α
α
. (5.25)
Подставляя в (5.20) конкретное значение
в
X , S , получаем значе-
ние
наб
K . Если
α
,левнаб
xK
<
, то гипотеза
0
H (5.19) отвергается и
принимается гипотеза
1
H
(5.24).
Случай 3. Альтернативная гипотеза
01
aa:H
≠
. (5.26)
Критическая область состоит из двух интервалов
),(
2/,
α
лев
x
−
∞ ,
),(
2/,
+
∞
α
пр
x , где критические точки
2/,
α
лев
x ,
2/,
α
пр
x определя-
ются из условий (5.7), которые с учетом (5.21) можно записать в виде
2/)(
2/,1
α
α
=
<
− левn
xTP ;
2/)(
2/,1
α
α
=
>
− прn
xTP
.
Обращаясь к табл. П2, находим
)1,1(
2/,
−
−
−
=
ntx
лев
α
α
;
)1,1(
2/,
−
−
=
ntx
пр
α
α
. (5.27)
Подставляя в (5.20) конкретные значения величин
в
X , S , получаем
значение критерия
наб
K . Если
наб
K попадает в интервал
),(
2/,
α
лев
x−∞ или ),(
2/,
+
∞
α
пр
x , то гипотеза
0
H (5.19) отвергается
и принимается альтернативная гипотеза
1
H (5.26). Если
∈
наб
K [
2/,
α
лев
x ,
2/,
α
пр
x ], то принимается основная гипотеза
0
H (5.19).
Пример 5.2. Хронометраж затрат времени на сборку узла машины п
= 21 слесарей показал, что
77
=
в
x мин, а 4
2
=s мин
2
. В предложе-
нии о нормальности распределения решить вопрос: можно ли на уровне
значимости
05.0
=
α
считать 80 мин нормативом (математическим
ожиданием) трудоемкости.
Решение. В качестве основной гипотезы принимается
80:
0
=aH мин,
в качестве альтернативной
80:
1
≠
aH мин, т.е. имеем случай 3, при
этом
80
0
=
a . Используя (5.27) и табл. П2 )201(
=
−
=
nk , находим
086.2
2/,
−
=
α
лев
x ;
086.2
2/,
=
α
пр
x . (5.28)
Случай 1. Альтернативная гипотеза принимается гипотеза H 1 (5.24).
H1 : a > a0 . (5.22) Случай 3. Альтернативная гипотеза
Критическая область является правосторонней: ее образует интервал H1 : a ≠ a0 . (5.26)
( xпр,α ,+∞) , где точка xпр ,α определяется из условия (5.6), которое с Критическая область состоит из двух интервалов ( −∞, x лев ,α / 2 ) ,
учетом (5.12) можно записать в виде
( xпр ,α / 2 ,+∞) , где критические точки x лев ,α / 2 , xпр,α / 2 определя-
P (Tn −1 > xпр ,α ) = α . ются из условий (5.7), которые с учетом (5.21) можно записать в виде
В табл. П2 приведены значения t (γ , k ) , определяемые соотношением P(Tn −1 < x лев ,α / 2 ) = α / 2 ;
t ( γ ,k ) P (Tn −1 > xпр,α / 2 ) = α / 2 .
∫ PT ( x )dx = γ .
− t ( γ ,k ) Обращаясь к табл. П2, находим
Так как функция плотности t -распределения симметрична относитель-
x лев ,α / 2 = −t (1 − α , n − 1) ;
но нуля, то искомая точка x пр ,α определяется как xпр,α / 2 = t (1 − α , n − 1) . (5.27)
Подставляя в (5.20) конкретные значения величин X в , S , получаем
xпр,α = t (1 − 2α , n − 1) . (5.23)
значение критерия Kнаб . Если K наб попадает в интервал
Подставив в (5.20) конкретные значения X в , S , получаем значение ( −∞, x лев ,α / 2 ) или ( xпр ,α / 2 ,+∞ ) , то гипотеза H 0 (5.19) отвергается
критерия Kнаб . Если K наб > x пр ,α (т.е. попадает в критическую об- и принимается альтернативная гипотеза H1 (5.26). Если
ласть), то гипотеза (5.19) отвергается и принимается гипотеза (5.22).
K наб ∈ [ x лев ,α / 2 , xпр,α / 2 ], то принимается основная гипотеза
При этом возможна ошибка первого рода с вероятностью α .
Случай 2. Альтернативная гипотеза H 0 (5.19).
H1 : a < a0 . (5.24) Пример 5.2. Хронометраж затрат времени на сборку узла машины п
2
= 21 слесарей показал, что xв = 77 мин, а s = 4 мин2. В предложе-
Критическая область является левосторонней, ее образует интервал
нии о нормальности распределения решить вопрос: можно ли на уровне
( −∞, x лев ,α ) , где точка x лев ,α определяется из условия (5.7), которое
значимости α = 0.05 считать 80 мин нормативом (математическим
с учетом (5.21) записывается в виде ожиданием) трудоемкости.
P(Tn −1 < x лев ,α ) = α . Решение. В качестве основной гипотезы принимается H 0 : a = 80 мин,
в качестве альтернативной H 1 : a ≠ 80 мин, т.е. имеем случай 3, при
Обращаясь к табл. П2, находим
этом a0 = 80 . Используя (5.27) и табл. П2 ( k = n − 1 = 20) , находим
x лев ,α = −t (1 − 2α , n − 1) . (5.25)
x лев ,α / 2 = −2.086 ;
Подставляя в (5.20) конкретное значение X в , S , получаем значе-
xпр ,α / 2 = 2.086 . (5.28)
ние Kнаб . Если K наб < x лев ,α , то гипотеза H 0 (5.19) отвергается и
75 76
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
