Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 40 стр.

                       H1 : σ 2 ≠ σ 02 .                                        (5.34)       5.4. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности
                                                                                                  события
В этом случае критическая область состоит из двух интервалов                                Предположим, что А – случайное событие, вероятность p появле-
(0, x лев ,α / 2 ) и ( xпр ,α / 2 ,+∞) , где критические точки x лев ,α / 2 ,            ния которого в единичном испытании неизвестна. Выдвинем гипотезу
xпр,α / 2 определяются из условий (5.7), которые с учетом (5.31) можно                                           H 0 : p = p0                                 (5.35)
записать в виде
                                                                                         о том, что вероятность p равна числу p0 . В основе проверки этой ги-
                         P( χ n2−1 < x лев ,α / 2 ) = α / 2 ;
                                                                                         потезы должно лежать сравнение числа p0 с приближенными значе-
                          P ( χ n2−1 > x пр ,α / 2 ) = α / 2 .                           ниями вероятности p , найденным по опытным данным. Хорошим при-
                                                                                         ближением к p является относительная частота ω = m n , где n –
Обращаясь к табл. П3, находим
                                                                                         число независимых испытаний, проводимых в одинаковых условиях,
                        x лев ,α / 2 = χ 2 (α / 2, n − 1) ;                              m – число испытаний (из n приведенных), в которых произошло со-
                                                                                         бытие А. Поскольку А – случайное событие, то число m – случайная
                         xпр,α / 2 = χ 2 (1 − α / 2, n − 1) .                            величина. Поэтому рассмотрим два случая.
                                                                                            Случай большого числа наблюдений. Напомним, что при большом
                                                                                         n распределение величины
   Если значение K наб , вычисленное по формуле (5.30), попадает в
один из интервалов (0, x лев ,α / 2 ) или ( x пр ,α / 2 , ∞) , то гипотеза H 0                                            ω−p
отвергается и принимается гипотеза H 1 (5.34). В противном случае нет
                                                                                                                        p (1 − p ) / n
оснований отвергнуть гипотезу H 0 (5.29).                                                можно аппроксимировать нормальным распределением            N (0,1) . Если
   Пример 5.3. Точность работы станка-автомата проверяется по дис-                       гипотеза (5.35) справедлива, то распределение критерия
персии контролируемого размера изделия. По выборке из 25 деталей
              2                                                                                                      ω − p0
вычислена s = 0.25 . При уровне значимости                       α = 0.05   проверить                                                                         (5.36)
                   2                                                                                               p0 (1 − p0 ) / n
гипотезу H 0 : σ       > 0.15 .
   Решение. За альтернативную примем гипотезу H1 : σ 2 > 0.15 , т.е.                     можно аппроксимировать нормальным распределением          N (0,1) , т.е.
                                                                 2
имеем случай 1. По табл. П3 находим xпр ,0.05 = χ (0.95,24) = 36.4 ,
                                                                                                                   ω−p
следовательно, критическая область (36.4, ∞ ) . По формуле (5.30)                                                                 = N ( 0 ,1 ) .
                                                                                                                p0 ( 1 − p0 ) n
находим
                                                                                            Напомним, что при проверке гипотез о численном значении матема-
                        K наб = ( 25 − 1)0.25 / 0.15 = 40 .
                                                                                         тического ожидания (при известной дисперсии) уже использовался кри-
                                                                                         терий, имеющий нормальное распределение. Поэтому, не останавлива-
   Так как K наб попадает в критическую область, гипотезу H 0 отвер-
                                                                                         ясь на вычислении критических точек, определим только следующие
гаем.                                                                                    три вида альтернативной гипотезы H1 .

                                            79                                                                               80