Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 42 стр.

Полагая γ = 1 − α и зная п, т, по табл. П4 находим p1 , p2 . Если         боркам x1,...., xn и y1,...., y m из генеральных совокупностей Х и Y про-
p0 < p1 или p0 > p2 , то принимаем гипотезу H1 : p ≠ p0 ; если            верить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. основная гипоте-
                                                                          за имеет вид:
p1 < p0 < p2 , то гипотеза H 0 : p = p0 .
  Пример 5.5. В n = 5 опытах событие A произошло m = 4 раза.                                        H 0 : M ( X ) = M (Y ) .                                   (5.41)
Можно ли принять вероятность p равной 0.2 при уровне значимости              Построим критерий проверки этой гипотезы, основываясь на сле-
α = 0.025 ?                                                               дующем соображении: так как приближенное представление о матема-
   Решение. Основная гипотеза H 0 имеет вид H 0 : p = p0 = 0.02 .         тическом ожидании дает выборочная средняя, то в основе проверки ги-
Рассмотрим три случая альтернативной гипотезы.                            потезы (5.41) должно лежать сравнение выборочных средних X в , Yв .
   1. H 1 : p > p0 . Принимая γ = 1 − 2α = 0.95 , по табл. П4 нахо-       Найдем закон распределения разности ( X в − Yв ) .
дим p1 = 0.284 . Так как p0 < p1 , то принимаем гипотезу H 1 , т.е.           Эта разность является случайной величиной и если гипотеза H 0
считаем, что p > 0.2 .                                                    (5.41) верна, то

   2. H 1 : p < p0 . Для γ = 1 − 2α = 0.95 по табл. П5 находим                                ⎛ X + ... + X n Y1 + ... + Ym ⎞
                                                                           M ( X в − Yв ) = M ⎜ 1            −              ⎟ = M( X ) − M(Y ) = 0 .
p 2 = 0.995 . Так как p0 < p2 , то принимаем гипотезу H 0 , т.е. счи-                         ⎝      n              m       ⎠
таем, что вероятность события р = 0.2.
   3. H1 : p ≠ p0 . Полагая α = 0.05 ,          по    табл.   П5   для       Пользуясь свойствами дисперсии, получим
γ = 1 − α = 0.95    находим    p1 = 0.284 и    p2 = 0.995 . Так как                                ⎛ X + ... + X n Y1 + ... + Ym ⎞
                                                                                  D( X в − Yв ) = D⎜ 1            −              ⎟=
 p0 = 0.2 не попадает в интервал (0.284, 0.995), то принимается гипоте-                            ⎝      n              m       ⎠
за H1 : p ≠ 0.2 .                                                                                                                                              (5.42)
                                                                                      nD( X )       mD(Y )     D( X ) D(Y ) σ X2 σ Y2
                                                                                  =             +            =       +     =    +     .
    5.5. Проверка гипотезы о равенстве математических                                   n2            m2        n      m     n    m
         ожиданий двух нормальных распределений
   Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух ге-            Так как случайная величина X в − Yв является линейной комбина-
неральных совокупностей имеет важное практическое значение. Дейст-        цией независимых нормально распределенных случайных величин
вительно, иногда оказывается, что средний результат xв одной серии        X 1 ,..., X n , Y1 ,..., Ym , то X в − Yв распределена по нормальному за-
наблюдений отличается от среднего результата y в другой серии. Воз-
                                                                                                                  2          σ x2        σ 2y
никает вопрос: можно ли это различие объяснить случайной ошибкой          кону с параметрами a = 0 ,           σ =                  +           . В качестве критерия
экспериментов или оно неслучайно. Иначе говоря, можно ли считать,                                                             n           m
что результаты экспериментов представляют собой выборки из двух ге-       выберем пронормированную случайную величину X в − Yв , т.е.
неральных совокупностей с одинаковыми средними. Приведем точную
формулировку задачи.                                                                                                  X в − Yв
   Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены по нормаль-                                             K=                .                               (5.43)
ному закону, причем средние квадратические отклонения их известны и                                                   σ x2        σ 2y
                                                                                                                             + m
равны соответственно σ X и σ Y . Требуется по двум независимым вы-                                                     n

                                   83                                                                                   84