Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 44 стр.

ностей, вычислены средние значения xв = 125 , y в = 127.5 . Извест-            таточно хорошими оценками для D(x) и D(y). Поэтому случайная ве-
                                                                               личина
ны генеральные дисперсии D ( X ) = 12, D (Y ) = 10 . При уровне зна-
чимости    α = 0.02    проверить гипотезу H 0 : M ( X ) = M (Y ) при                                                 X в − Yв
                                                                                                          K=                                                            (5.48)
конкурирующей гипотезе H 1 : M ( X ) ≠ M (Y ) .                                                                         Dвx
                                                                                                                               +
                                                                                                                                    Dвy
                                                                                                                         n           m
   Решение. Наблюдаемое значение критерия равно
                            xв − y в                  − 2.5                    распределена по закону, близкому к нормальному N(0,1), и может быть
               K наб =                         =                    = −1.25.
                             σ 12       σ 22          12
                                                           +   10              принята в качестве критерия. Тогда построение критических областей
                              n
                                    +    m
                                                       6        5              для трех видов конкурирующих гипотез осуществляется так же, как и в
                                                                               предыдущем пункте.
   По табл. П1 определяем xпр ,α / 2 из условия                                   Пример 5.8. По двум независимым выборкам объемов n = 120 ,
                                                                               m = 150 найдены значения дисперсий выборочных d вx = 1.2 и
                      Φ ( xпр,α / 2 ) = (1 − α ) / 2 = 0.49 .
                                                                               d вy = 4.5 , а также средние значения xв = 30 , y в = 28.3 . При уров-
Получаем     xпр,α / 2 = 2.32 ,  x лев ,α / 2 = −2.32 . Так  как               не значимости    α = 0.05     проверить гипотезу H 0 : M ( X ) = M (Y )
− 2.32 < −1.25 < 2.32 , то наблюдаемое значение попало в область               при конкурирующей H1 : M ( X ) ≠ M ( Y ) .
допустимых значений. Поэтому гипотеза о равенстве генеральных сред-               Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия K :
них подтверждается на уровне значимости α = 0.02 .
                                                                                                            X в − Yв                 30 − 28.3
                                                                                                K наб =                         =                       = 8.5 .
    5.6. Проверка гипотезы о равенстве математических                                                        d вx       d вy              1.2     4.5
                                                                                                                                                + 150
         ожиданий двух произвольных распределений по                                                          n
                                                                                                                    +    m                120
         выборкам большого объема                                                 Правую границу         xпр,α / 2 двусторонней критической области
   Пусть x1 ,..., x n — выборка из генеральной совокупности X, а               ( xпр,α / 2 ,+∞) найдем из условия Φ ( x пр,α / 2 ) = (1 − α ) / 2 = 0.475 .
 y1 ,..., y n – выборка из генеральной совокупности Y , причем объемы          Получаем        xпр ,α / 2 = 1.96 ,             x лев ,α / 2 = −1.96 .             Так     как
выборок п и т большие (не менее 30 элементов в каждой). Распре-
деление генеральных совокупностей нам неизвестно, но недостаток                 K наб > xпр ,α / 2 . Гипотеза о равенстве генеральных средних на уровне
этой информации компенсируется большими объемами выборок. Со-                  значимости α = 0.05 отвергается.
гласно центральной предельной теореме случайная величина X в − Yв
                                                                                   5.7. Проверка гипотезы о равенстве математических
распределена по закону, близкому к нормальному. Если гипотеза
                                                                                        ожиданий двух нормальных распределений с
H 0 : M ( X ) = M (Y ) верна, то M ( X в − Yв ) = 0 . Как и в предыду-                  неизвестными, но равными дисперсиями
                                    σ2         σ 2y                   2   2       Сформулируем задачу. Пусть x1 ,..., x n и y1 ,..., y m – две незави-
щем пункте, D ( X в − Yв ) = x +   , однако σ x , σ y неизвестны.
                             n   m                                             симые выборки из нормально распределенных генеральных совокупно-
Но при выборках большого объема случайные величины Dвx — дис-                  стей Х и Y соответственно. Ранее мы рассмотрели случай выборок
персия выборочная Х и Dвy — дисперсия выборочная Y являются дос-               большого      объема      и    научились     проверять   гипотезу
                                                                               H 0 : M ( X ) = M (Y ) . Такую же гипотезу мы можем проверить и в
                                               87                                                                              88