Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 45 стр.

том случае, если выборки имеют малый объем, но D ( X ) и D (Y ) из-                             подчиняется распределению Стьюдента с n + m − 2 степенями
вестны. Поэтому рассмотрим случай, когда выборки имеют малый объ-                               свободы (см.пункт 4.1). Подставив вместо U правую часть выражение
ем и дисперсии их D( X ) и D(Y ) неизвестны, но равны.                                          (5.51), а вместо   χ n2+ m − 2   левую часть (5.50), получим
   Таким образом, при следующих предположениях : а) случайные ве-
личины Х и Y имеют нормальное распределение и независимы; б)                                                                     X в − Yв           nm( n + m − 2 )
                        2                                                                                           K=                         ×                    .       (5.52)
D( X ) = D(Y ) = σ               требуется проверить гипотезу о равенстве                                                   nDвx + mDвy                 n+m
математических ожиданий случайных величин Х и Y, т.е
                                                                                                Эта случайная величина не содержит неизвестный параметр σ и может
                        H 0 : M ( X ) = M (Y ) .                                     (5.49)     быть взята в качестве критерия для проверки гипотезы H 0 (5.49). Если
  Построим критерий для проверки этой гипотезы. Для этого рассмот-                              эта гипотеза справедлива, то критерий (5.52) имеет t -распределение с
                                      nDвx           mDвy                                       k = n + m − 2 степенями свободы, т.е.
рим случайные величины                           и          . По теореме о распределении
                                      σ2             σ2                                                                          K = Tn + m − 2 .                           (5.53)
                                                   2
выборочных характеристик они имеют распределения χ n −1 и                           χ m2 −1 ,
                                                                                                    Зададимся уровнем значимости α и перейдем к построению крити-
соответственно. Так как рассматриваются независимые выборки, то                                 ческих областей для трех видов альтернативной гипотезы. Заметим, что
                            nDвx             mDвy
случайные величины                       и            – независимы и поэтому их сумма           ранее рассматривался критерий (5.20), имеющий распределение Стью-
                                 2
                             σ               σ2                                                 дента с k = n − 1 степенями свободы. Сейчас рассмотрим критерий
имеет распределение         χ n2+ m − 2 , т.е                                                   (5.52), имеющий t -распределение с k = n + m − 2 степенями свобо-
                                                                                                ды. Никаких принципиальных различий в алгоритмах построения кри-
                                                                                                тических областей это не вносит. Поэтому лишь кратко приведем схемы
                        nDbx             mDby
                             2
                                     +           2
                                                     = χ n2+ m − 2 .                 (5.50)     нахождения критических точек.
                         σ                   σ                                                      1. Альтернативная гипотеза имеет вид
  В     силу        независимости                    величин            Х   и   Y   имеем                           H 1 : M ( X ) > M (Y ) .                   (5.54)
D( X в − Yв ) =    σ2   +   σ 2 . Если гипотеза             H 0 справедлива, то случайная          Критическая область представляет собой интервал ( x пр ,α ,+∞ ) , где
                   n         m
величина                                                                                        точка x пр ,α находится из условия

                X в − Yв                nm                                                                                       P (Tn+ m−2 > x пр ,α ) = α
       U=                         =         ( X в − Yв )                             (5.51)
               σ    1
                        +   1         σ n+m
                    n       m                                                                      В табл. П2 приведены величины                t (γ , k ) , определяемые условием
имеет нормальное распределение                         N (0,1) (убедитесь в этом), т.е.         P( Tk < t (γ , k ) ) = γ , и, следовательно,
U = N (0,1) .                                                                                               x пр ,α = t (1 − 2α , n + m − 2) .                              (5.55)
   Напомним, что случайная величина                                                             Подставив в (5.52) числовые значения, получаем значения критерия

                                                     U n+m−2                                    K наб . Если K наб > x пр ,α , то принимается гипотеза Н 1 (5.54); в про-
                                 Tn + m − 2 =                                                   тивном случае – гипотеза Н 0 (5.49).
                                                          χ n2+ m − 2
                                                     89                                                                                      90