Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 47 стр.

     5.8. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух                                                                               S 2y
                                                                                                                          S x2
          нормальных распределений                                                                                                          = Fn −1, m −1 .   (5.59)
   В предыдущем пункте при проверке гипотезы о равенстве математи-                                                       σ x2        σ 2y
ческих ожиданий предполагалось, что дисперсии этих совокупностей
одинаковы. Как убедиться в этом, имея лишь значения выборочных                                Если гипотеза (5.58) верна, то из (5.59) непосредственно получаем кри-
дисперсий? Задача проверки гипотезы о равенстве дисперсий имеет и                             терий
самостоятельный интерес. Так как дисперсия характеризует точность                                                         max( S x2 , S 2y )
работы прибора или технологического процесса, то, убедившись в ра-                                                 K=                            ,            (5.60)
венстве дисперсий, можно говорить об одинаковой точности прибора                                                          min( S x2 , S 2y )
или технологического процесса.                                                                который подчиняется распределению Фишера с l и k степенями свобо-
   Пусть Х и Y – две случайные величины, имеющие нормальные рас-
                                                                                              ды (см.(4.11)), т.е.
пределения, и неизвестные дисперсии              σ x2 и σ 2y .       Требуется проверить
                                                                                                                                 K = Fl , k .                 (5.61)
гипотезу
                                    H 0 : σ x2 = σ 2y .                             (5.58)    Предположим, что выборка с большей исправленной дисперсией имеет
   Построим критерий для проверки этой гипотезы. Для этого рассмот-                           объем n 1 , и меньшей – m1 . В этом случае
рим исправленные дисперсии:                                                                                         l = n1 − 1; k = m1 − 1 .
                         n                                 m
                                                                                              Зададим уровень значимости α и перейдем к построению критических
                       ∑ ( X i − X в )2                   ∑ (Y j − Yв ) 2                     областей и проверке гипотезы (5.58) для трех следующих видов альтер-
                       i =1                                j =1
              S x2 =                         , S y2 =                         .               нативной гипотезы.
                                n −1                              m −1                           1. Альтернативная гипотеза имеет вид
Как известно (см. пункт 3.3), эти величины могут быть приняты за при-
ближенные значения       σ x2 и σ 2y .   Имеют место следующие распределе-
                                                                                                                                 H1 : σ x2 > σ 2y .           (5.62)

ния (см. теорему 4.1):                                                                        В этом случае критическая область представляет собой интервал
                                 ( n − 1) S x2                                                ( xпр,α ,+∞) , где точка xпр ,α определяется из условия
                                                 = χ n2−1 ;                                                                P( Fl , k > xпр,α ) = α .
                                     σ x2
                                                                                              Исходя из этого условия, найдем xпр ,α . В табл. П5 приведены значения
                                 ( m − 1) S y2
                                                 =    χ m2 −1 .                               f γ (l , k ) , удовлетворяющие условию
                                     σ 2y
Поэтому в соответствии с определением F -распределения (см. пункт                                                  P ( Fl ,k < f γ (l , k )) = γ = 1 − α .
                 χ l2 l                              ( n − 1) S x2      ( n − 1) S y2         Тогда, задавая   γ = 1 − α , приходим к соотношению
3.1) отношение                или отношение                                           будет
                 χ k2 l                           σ x2 ( n − 1)         σ 2y ( n − 1)                                            xпр,α = f γ (l , k ).        (5.63)
иметь распределение Фишера с l = n − 1 и k = m − 1 степенями сво-                                Перейдем к проверке гипотезы H 0 . В соответствии с выражениями
боды, т.е


                                            93                                                                                              94