Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 49 стр.

   Пример 5.11. По двум независимым выборкам, объемы которых                         не известен заранее. Однако сравнение гистограммы с известными кри-
n = 12, m = 13 , извлеченным из нормальных генеральных совокупно-                    выми функций плотностей позволяет выдвинуть гипотезу о виде рас-
стей,    найдены       исправленные     выборочные      дисперсии                    пределения генеральной совокупности. Так, например, если гистограм-
                                                                                     ма имеет один явно выраженный пик (см. рис.5.2, а), то можно предпо-
s x2 = 1.05, s 2y = 0.35 . При уровне значимости α = 0.10 проверить                  ложить, что исследуемая генеральная совокупность распределена по
                                                                                     нормальному закону N (a, σ ) , т.е. имеет плотность
гипотезу        H 0 : σ x2 = σ 2y       при      конкурирующей            гипотезе
                                                                                                                                          ( x − a )2
H1 : σ x2 ≠ σ 2y .                                                                                                         1          −
                                                                                                                p( x ) =          e         2σ 2       .
   Решение. Вычислим                                                                                                       2π σ
                        K наб = s x2 s 2y = 1.05 0.35 = 3.                           Если гистограмма представляет собой "убывающие ступеньки прямо-
   Количество степеней свободы l = 12 − 1 = 11; k = 13 − 1 = 12 . По                 угольников" (см. рис.5.2, б), то генеральная совокупность может быть
                                                                                     распределена по показательному закону:
табл.      П5    для      γ = 1 − α / 2 = 0.95 ,         l = 11, k = 12   находим
                                                                                                                      ⎧⎪0,          , x < x0 ;
f 0.95 (12,13) = 2.79 . Тогда, используя (5.67), получаем                                                    p( x ) = ⎨ − λ ( x − x )
                          x лев ,α / 2 = 1 2.79 = 0.358 ;                                                              ⎪⎩λe        0 ,x ≥ x .
                                                                                                                                            0

                                    xпр,α / 2 = 2.79 .                               Для гистограммы, представленной на рис.5.2, в, естественно выдвинуть
                                                                                     гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности.
                                                              2      2
   Так как K наб = 3 > 2.79 , то гипотеза H 0 : σ x = σ y отвергается                   Возникает вопрос о критерии проверки по выборочным данным ги-
                          2         2                                                потезы о том, что случайная величина Х подчиняется распределению с
и принимается H 1 : σ x ≠ σ y .                                                      плотностью y = p (x ) . Такие критерии называются критериями согла-
   В заключение сделаем следующее замечание. Выше, при проверке
гипотез, предполагалась нормальность распределения исследуемых                       сия. Рассмотрим лишь один критерий согласия, использующий                 χ2   –
случайных величин Х и Y. Однако приведенные критерии весьма ус-                      распределение и получивший название критерия согласия Пирсона (или
тойчивы (особенно при больших объемах выборок) по отношению к от-                    критерия   χ 2 ).   Выдвигая гипотезу о виде распределения генеральной
клонению от нормального распределения. Данный факт позволяет наде-                   совокупности, мы должны различать два случая. В первом из них вид
яться на успешное использование этих критериев для проверки гипотез                  функции плотности определен в гипотезе полностью. Например, мы
в случаях, когда нет уверенности в нормальном распределении случай-                  выдвигаем гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена
ных величин Х и Y.                                                                   по нормальному закону с параметрами a = 0 и σ = 1 . Такие гипотезы
     5.9. Проверка гипотезы о законе распределения с                                 называются простыми. Если же гипотеза состоит лишь в том, что
          применением критерия согласия Пирсона                                      функция плотности р(х) принадлежит к некоторому семейству функ-
                                                                                     ций, то такая гипотеза называется сложной. Например, можно выдви-
   В предыдущих пунктах этого раздела рассматривались гипотезы, от-
                                                                                     нуть гипотезу о том, что генеральные совокупности распределены по
носящиеся к отдельным параметрам распределения случайных величин,
при этом предполагался известным вид самого распределения.                           показательному закону, не оговаривая значения параметров              λ   и x0 .
   При обработке статистических данных большого объема часто воз-                    Такая гипотеза будет сложной.
никает ситуация, когда закон распределения генеральной совокупности

                                           97                                                                                  98