Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

99 100
Рис. 5.2. К проверке гипотезы о законе распределений
Остановимся вначале на простой гипотезе, предполагая, что гене-
ральная совокупность распределена непрерывно. В качестве нулевой
гипотезы принимается предположение, что неизвестная плотность рас-
пределения
)(xp
X
исследуемой случайной величины Х совпадает с
предполагаемой плотностью
р(х), т.е.
)x(p)x(p:H
X
=
0
. (5.68)
В качестве предполагаемой (теоретической) плотности могут
быть рассмотрены различные плотности (нормальная, показательная и
т.д.).
Выберем наименьшее и наибольшее значения в данной выборке:
},...,max{},,...,min{
11 nn
xxbxxa
=
=
.
Промежуток
],[ ba разобьем на l промежутков равной длины
l
ab
h
−
=
. Границы этих промежутков обозначим
bz,...,z,az
l
=
=
10
,
где
hzz
ii
+
=
+1
при 1,...,0
−
=
li . Считаем, что гипотеза верна. Вы-
числим частоту
),...,1( lim
i
=
попадания элементов генеральной сово-
купности на каждый промежуток. Понятно, что
nm...mm
l
=
+
+
+
21
.
Сдвинем границу левого интервала на
∞
−
, а правого на
∞
+
, т.е. вме-
сто первого интервала
),(
10
zz рассмотрим интервал );(
1
z
∞ , а вме-
сто последнего
),(
1 ll
zz
−
— интервал ),(
1
∞
−l
z . Вычислим вероят-
ность попадания случайной величины
Х на каждый из полученных про-
межутков
l
Δ
Δ
,...,
1
, воспользовавшись известной формулой:
.l,...,,i,dx)x(pp
i
i
∫
=
=
Δ
21
Заметим, что первый и последний из интегралов являются несобствен-
ными. Полученные вероятности
n
pp ,...,
1
должны удовлетворять усло-
вию
1...
21
=
+
+
+
n
ppp .
Рассмотрим
п опытов, каждый из которых состоит в выборе слу-
чайного значения величины
Х, и события
i
A = {значение попало на ин-
                                                                                               H 0 : p X ( x ) = p( x ) .                  (5.68)

                                                                            В качестве предполагаемой (теоретической) плотности могут
                                                                     быть рассмотрены различные плотности (нормальная, показательная и
                                                                     т.д.).
                                                                            Выберем наименьшее и наибольшее значения в данной выборке:

                                                                                   a = min{x1 ,..., x n }, b = max{x1 ,..., x n } .

                                                                        Промежуток [a , b] разобьем на l           промежутков равной длины
                                                                         b−a
                                                                     h=         . Границы этих промежутков обозначим z 0 = a , z1 ,..., z l = b ,
                                                                             l
                                                                     где zi +1 = zi + h при i = 0,..., l − 1 . Считаем, что гипотеза верна. Вы-
                                                                     числим частоту mi (i = 1,..., l ) попадания элементов генеральной сово-
                                                                     купности на каждый промежуток. Понятно, что

                                                                                              m1 + m2 + ... + ml = n .

                                                                     Сдвинем границу левого интервала на     − ∞ , а правого на + ∞ , т.е. вме-
                                                                     сто первого интервала ( z0 , z1 ) рассмотрим интервал ( −∞; z1 ) , а вме-
                                                                     сто последнего ( z l −1 , z l ) — интервал ( zl −1 , ∞ ) . Вычислим вероят-
                                                                     ность попадания случайной величины Х на каждый из полученных про-
                                                                     межутков Δ1 ,..., Δ l , воспользовавшись известной формулой:

                                                                                             pi = ∫ p( x )dx , i = 1,2 ,...,l .
                                                                                                   Δi

                                                                     Заметим, что первый и последний из интегралов являются несобствен-
          Рис. 5.2. К проверке гипотезы о законе распределений       ными. Полученные вероятности p1 ,..., pn должны удовлетворять усло-
                                                                     вию

   Остановимся вначале на простой гипотезе, предполагая, что гене-                            p1 + p2 + ... + pn = 1 .
ральная совокупность распределена непрерывно. В качестве нулевой
гипотезы принимается предположение, что неизвестная плотность рас-      Рассмотрим п опытов, каждый из которых состоит в выборе слу-
пределения p X ( x ) исследуемой случайной величины Х совпадает с    чайного значения величины Х, и события Ai = {значение попало на ин-
предполагаемой плотностью р(х), т.е.
                                  99                                                                        100

Страницы