Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 48 стр.

                   1 n                            1 m                                                                                                                χ l2 l
        s x2   =       ∑
                 n − 1 i =1
                                        2    2
                            ( xi − x в ) , s y =      ∑
                                                 m − 1 j =1
                                                            ( y j − yв ) 2 ,              Вычислим       x лев ,α из этого условия. Так как Fl , k                  = 2 ,
                                                                                                                                                                     χk k
                                                                                                                                                                                   то


где xi , y j – выборочные значения, x в , y в – значения выборочных                        1     χ2 k
                                                                                                = k2 = Fk ,l . Тогда имеем следующее свойство распределе-
                         2    2
средних, находим s x , s y . Подставляя эти значения в (5.60), вычисляем
                                                                                          Fl ,k  χl l
                                                                                          ния Фишера:
числовое значение критерия K наб . Если K наб > xпр ,α , то гипотеза
                                                                                                                         ⎛ 1            1        ⎞    ⎛              1        ⎞
Н 0 (5.58) отвергается и принимается гипотеза H1 . При этом можно                           P( Fl ,k < f γ ( l , k )) = P⎜       >               ⎟ = P⎜ Fl ,k >               ⎟ =γ .
                                                                                                                         ⎜ Fl ,k   f γ ( l , k ) ⎟    ⎜         f γ ( l , k ) ⎟
                                                                                                                         ⎝                       ⎠    ⎝                       ⎠
совершить ошибку первого рода с вероятностью α . Если                                     Следовательно,
K наб < x пр,α , то принимается гипотеза Н 0 .                                                                     P( Fl , k < 1 / f γ (l , k )) < 1 − γ ,
   Пример        5.10.       По    двум   независимым        выборкам       объемов       и, положив    α = 1−γ       , приходим к соотношению
n = 9, m = 13 , извлеченным из нормальных генеральных совокупно-                                                   x лев ,α = 1 / f1−α (l , k ) ,                              (5.65)
стей, найдены исправленные дисперсии s 2x = 12, s 2y = 6 . При уровне
                                                                                          где значения f1−α (l , k ) определяются по табл. П5.
                                                                     2
значимости        α = 0.05        проверить нулевую гипотезу H 0 : σ x          = σ 2y       Если      вычисленное                K наб попадает в интервал
                                                                                                                           значение

при альтернативной H 1 : σ x > σ y .
                                    2     2                                               (0, x лев ,α ), то принимается гипотеза H1 (5.64); в противном случае –
   Решение. Вычислим значение критерия                       по   формуле       (5.60):   гипотеза H 0 (5.58).
K наб = 12 / 6 = 2 . В соответствии с соотношением (5.63) находим                            3. Альтернативная гипотеза H 1 имеет вид
точку                                                                                                              H1 : σ x2 ≠ σ 2y .                                          (5.66)
x пр ,α = f 0.95 ( 8,12 ) = 3.38( l = n1 − 1 = 9 − 1 = 8; k = m1 − 1 = 13 − 1 = 12 ).     В этом случае критическая область состоит из двух интервалов
Так как K наб >     3.28 , то принимается гипотеза H 0 : σ x2        = σ 2y .             (0, x лев ,α / 2 ) , ( xпр,α / 2 ,+∞ ) , где точки x лев ,α / 2 и xпр,α / 2 опреде-
   2. Альтернативная гипотеза имеет вид                                                   ляются следующими соотношениями (докажите это):
                                                                                                                   x лев ,α / 2 =         1          ;
                         H1 : σ x2 < σ 2y .                                     (5.64)                                              f1−α / 2 (l ,k )

В этом случае критическая область является левосторонней и, посколь-                                               xпр ,α / 2 = f1−α / 2 (l , k ) ,                            (5.67)
ку величина (5.57) неотрицательна, имеет вид (0, x лев ,α ), где точка                    в которых, как и прежде, значения f γ ( l , k ) находятся по табл. П5.
x лев ,α определяется из условия                                                             При попадании числового значения K наб критерия (5.60) в интер-
                                                                                          вал (0, x лев ,α / 2 ) или ( x пр ,α / 2 ,+∞ ) применяется гипотеза H 1 (5.66);
                              P( Fl , k < x лев ,α ) = α .
                                                                                          если K наб попадает в интервал [ x лев ,α / 2 , xпр ,α / 2 ] , то применяется
                                                                                          гипотеза H 0 (5.58).

                                              95                                                                                           96