Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 46 стр.

   2. Альтернативная гипотеза имеет вид:                                                                                    2             2
                                                                                 чения исправленных дисперсий s x = 0.8 , s y = 0.4 . Требуется на
                     H 1 : M ( X ) < M (Y ) .                          (5.56)    уровне          значимости           α = 0.05          проверить          гипотезу
Критическая область – это интервал ( −∞, x лев ,α ) , где точка x лев ,α         H 0 : M ( X ) = M (Y ) )             при         конкурирующей            гипотезе

находится из условия                                                             H1 : M ( X ) ≠ M (Y ) . Объемы выборок равны соответственно п = 12,
                        P (Tn+ m−2 < x лев,α ) = α                               т = 18.
и равна
                                                                                    Решение. Так как выборки имеют малый объем, то для применения
                      x лев ,α = −t( 1 − 2α , n + m − 2 ) ,                      критерия Стьюдента мы должны вначале проверить гипотезу о равенст-
                                                                                 ве дисперсий генеральных D ( X ) = D (Y ) (см. пункт 5.8). Для провер-
где t( 1 − 2α , n + m − 2 ) находится по табл. П2. Если числовое значение        ки применим критерий Фишера. В качестве конкурирующей выберем
K наб < x лев,α , то принимается гипотеза Н 1 (5.56); в противном слу-           гипотезу D ( X ) > D(Y ) . Найдем наблюдаемое значение критерия
                                                                                 Фишера:
чае – гипотеза Н 0 (5.49).
   3. Альтернативная гипотеза имеет вид                                                                                     0.8
                                                                                                                  K наб =       = 2.
                     H1 : M ( X ) ≠ M (Y ) .                            (5.57)                                              0.4
   В этом случае критическая область состоит из двух интервалов
                                                                                 Граница           правосторонней          критической           области
( −∞, x лев ,α / 2 ) , ( xпр,α / 2 ,+∞ ) , где критические точки определяются    xпр ,α = f γ (11,17) = 2.41 . Так как K наб < xпр ,α , то нет оснований
из условий
                                                                                 отвергать гипотезу о равенстве дисперсий D ( X ) и D (Y ) . Считая их
                      P( Tn + m − 2 < x лев ,α / 2 ) = α / 2;                    равными, применим критерий (5.52) и вычислим
                      P( Tn + m − 2 > x пр ,α / 2 ) = α / 2.
                                                                                                              xв − y в            mn(n + m − 2)
                                                                                                     K=                      ⋅                  .
Используя табл. П2, получаем                                                                               nd вx + md вy             n+m
                      x лев ,α / 2 = −t (1 − α , n + m − 2);
                                                                                 Так как S
                                                                                             2
                                                                                                 =    n
                                                                                                         D , то   nd вx = (n − 1) s x2 , md вy = (m − 1) s 2y . После
                      xпр ,α / 2 = t (1 − α , n + m − 2).                                            n −1 в
                                                                                 вычислений получим K наб = 3.594 . Критическая область для крите-
Если числовое значение          K наб критерия попадает в интервал               рия является двусторонней. По табл. П2 находим
( −∞, x лев ,α / 2 ) или в интервал ( xпр,α / 2 ,+∞ ) , то принимается гипо-
                                                                                  xпр ,α / 2 = t (1 − α ,28) = 2.048; x лев ,α / 2 = −t (1 − α ,28) = −2.048 .
                                                          (
теза Н 1 (5.57). Если K наб попадает в интервал x лев ,α / 2 , x пр ,α / 2 ,)
                                                                                 Так как K наб > 2.048 , то гипотеза о равенстве математических ожи-
то принимается гипотеза H 0 (5.49).
                                                                                 даний М(Х) и M(Y) отвергается на уровне значимости 0.05.
   Пример 5.9. По двум малым выборкам из нормальных генеральных
совокупностей Х и Y найдены среднее значение xв = 30, y в = 39 и зна-


                                        91                                                                                   92