Составители:
Рубрика:
101 102
тервал
i
Δ ,}. Событие
i
A в каждом опыте происходит с вероятностью
i
p . Поэтому ожидаемое количество появлений события А в п опытах
равно
i
np — математическое ожидание биномиального распределения.
Понятно, что если гипотеза верна, то между фактическими частотами
i
m и теоретическими
i
np попаданий на i -й интервал не должно быть
"больших" расхождений , т.е. величины
l
npnp ,...,
1
и числа
l
mm ,...,
1
должны быть, соответственно, близки друг к другу. В каче-
стве меры расхождения между ними используем сумму квадратов взве-
шенных расхождений:
i
ii
i
np
npm
Y
−
=
.
Случайная величина
∑
−
∑
=
==
l
i
i
ii
l
i
i
np
npm
Y
1
2
1
2
)(
при большом объеме выборки
n имеет распределение, близкое к
2
χ
с
)1( −l степенями свободы. Поэтому эта случайная величина принима-
ется за критерий
∑
−
=
=
l
i
i
ii
np
npm
K
1
2
)(
. (5.69)
Если гипотеза
0
H (5.68) справедлива, то критерий
K
имеет
2
χ
– рас-
пределение с
1
−
=
lk
степенями свободы, т.е.
∑
=
−
=
=
l
i
k
i
ii
np
npm
K
1
2
2
)(
χ
. (5.70)
Далее задаемся уровнем значимости
α
и, зная распределение крите-
рия
K
, строим правостороннюю критическую область. Это будет об-
ласть вида
),(
,
+
∞
α
пр
x . Критическая точка
α
,пр
x находится из усло-
вия
αχ
α
=> )(
,
2
прk
xP .
В табл. П3 приведены значения
2
γ
χ
, удовлетворяющие условию
γχχ
γ
=< )(
22
k
P .
Следовательно,
)1,1(
2
,
−−= lx
пр
αχ
α
. (5.71)
Если числовое значение критерия
наб
K , вычисляемое по формуле
(5.69), попадает в критическую область
),(
,
∞
α
пр
x
, то делается вывод о
неправомерности гипотезы
0
H (5.67). При этом следует помнить, что
этот вывод может быть ошибочным (т.е. генеральная совокупность име-
ет плотность распределения
)(xp ) с вероятностью
α
(ошибка первого
рода).
Отметим одну рекомендацию для выбора длины интервала
h . Что-
бы случайная величина
∑
=
−
l
i
i
ii
np
npm
1
2
)(
была достаточно близка к рас-
пределению
2
1
−l
χ
, достаточным для практических расчетов является
выполнение условия
10≥
i
np для всех i. В том случае, когда для неко-
торого
i имеет место 10
<
i
np , рекомендуется объединить несколько
интервалов, пока данное условие не будет выполнено.
Пример 5.12. По выборке объема
144
=
n составлен группирован-
ный статистический ряд:
X
0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8
i
m
16 17 19 16 24 19 17 16
Проверить на уровне значимости
05.0
=
α
гипотезу о равномерно-
сти распределения генеральной совокупности на отрезке [0,8].
Решение. Нулевая гипотеза имеет вид
⎩
⎨
⎧
≤≤
==
−
.,0
;80,
)()(:
08
1
0
xостальныхдля
x
xpxpH
X
(5.72)
тервал Δ i ,}. Событие Ai в каждом опыте происходит с вероятностью В табл. П3 приведены значения χ γ2 , удовлетворяющие условию
pi . Поэтому ожидаемое количество появлений события А в п опытах
P( χ k2 < χ γ2 ) = γ .
равно npi — математическое ожидание биномиального распределения.
Следовательно,
Понятно, что если гипотеза верна, то между фактическими частотами
mi и теоретическими npi попаданий на i -й интервал не должно быть x пр ,α = χ 2 (1 − α , l − 1) . (5.71)
"больших" расхождений , т.е. величины np1 ,..., npl и числа Если числовое значение критерия K наб , вычисляемое по формуле
m1 ,..., ml должны быть, соответственно, близки друг к другу. В каче- (5.69), попадает в критическую область ( x пр ,α , ∞) , то делается вывод о
стве меры расхождения между ними используем сумму квадратов взве-
шенных расхождений: неправомерности гипотезы H 0 (5.67). При этом следует помнить, что
mi − npi этот вывод может быть ошибочным (т.е. генеральная совокупность име-
Yi = . ет плотность распределения p (x) ) с вероятностью α (ошибка первого
npi
рода).
Случайная величина
Отметим одну рекомендацию для выбора длины интервала h . Что-
l
2
l ( mi − npi ) 2 (mi − npi ) 2
∑ Yi = ∑ l
i =1 i =1 npi бы случайная величина ∑ была достаточно близка к рас-
i =1 npi
при большом объеме выборки n имеет распределение, близкое к χ2с пределению χ l2−1 , достаточным для практических расчетов является
(l − 1) степенями свободы. Поэтому эта случайная величина принима-
выполнение условия npi ≥ 10 для всех i. В том случае, когда для неко-
ется за критерий
торого i имеет место npi < 10 , рекомендуется объединить несколько
( mi − npi ) 2
l
K= ∑ . (5.69) интервалов, пока данное условие не будет выполнено.
i =1 npi
Пример 5.12. По выборке объема n = 144 составлен группирован-
Если гипотеза H 0 (5.68) справедлива, то критерий K имеет χ2 – рас- ный статистический ряд:
пределение с k = l − 1 степенями свободы, т.е.
X 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8
2
l ( mi − npi )
K= ∑ = χ k2 . (5.70) mi 16 17 19 16 24 19 17 16
i =1 npi
Далее задаемся уровнем значимости α и, зная распределение крите- Проверить на уровне значимости α = 0.05 гипотезу о равномерно-
рия K , строим правостороннюю критическую область. Это будет об- сти распределения генеральной совокупности на отрезке [0,8].
Решение. Нулевая гипотеза имеет вид
ласть вида ( x пр ,α ,+∞ ) . Критическая точка xпр ,α находится из усло-
вия ⎧ 1 , 0 ≤ x ≤ 8;
H0 : p X ( x ) = p ( x ) = ⎨ 8− 0 (5.72)
P( χ k2 > xпр ,α ) = α . ⎩0, для остальных x.
101 102
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
