Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 53 стр.

                                                                                                           (mi − npi ) 2
                                                                   Таблица 5.2     шенные отклонения                     . Так как для 9-го и 10-го интервалов
Номер Границы                         ⎛z −x ⎞
                                                                                                               npi
                        z i −1 − xв                                ( mi − npi )2
интер- интерва-   mi                Φ ⎜ i −1 в ⎟     pi    npi
 вала    лов                  s       ⎝     s  ⎠                        npi        np9 = 7.2 < 10 и np10 = 3.32 < 10 , то эти интервалы объединяем.
  1       2        3       4            5            6      7            8         Для полученного интервала           np = 10.52 > 10 (см. графу 7). Числовое
  1    [-20,15]    7     -1.99       -0.4767       0.023   4.66        1.18        значение критерия K наб = 7.19 (см. графу 8). По табл. ПЗ при

  2    [-15,10]   11     -1.47       -0.4292       0.047   9.50        0.24
                                                                                   γ = 1 − α = 0.98       и        k = 9 − 2 − 1 = 6 находим               χ 2 (0.98) = 15.0 ,
                                                                                   xпр ,α = 15.0 . Так как K наб < 15.0 , то гипотеза H 0 о нормальности
  3    [-10,-5]   15     -0.96       -0.331        0.097 19.54         1.05
                                                                                   распределения генеральной совокупности принимается на уровне зна-
  4     [-5,0]    24     -0.44       -0.1700       0.161 32.30         2.13        чимости α = 0.02 .

  5      [0,5]    49     +0.07       0.0279        0.197 39.58         2.24
                                                                                        5.10. Проверка гипотезы о независимости двух генеральных
  6     [5,10]    41      0.59        0.222        0.194 38.90         0.11                  совокупностей с применением критерия χ 2
  7     [10,15]   26      1.10        0.364        0.141 28.38         0.20
                                                                                      Пусть ( X , Y ) — двухмерная генеральная совокупность, причем все
  8     [15,20]   17      1.62       0.4474        0.083 16.62         0.01        значения случайной величины X исчерпываются числами a1 ,..., al , а

  9     [20,25]    7      2.13       0.4834        0.0526 10.52        0.03        все значения случайной величины Y — числами b1 ,..., bs . Выборка
                                                                                   объема п в этом случае состоит из пар ( x1 , y1 ),..., ( x n , y n ) , где xi и y i
  10    [25,30]    3      +∞           0.5
                                                                                   — соответствующие значения случайных величин X и Y . Заполним
 ∑                200                                1     200.0       7.19        таблицу, называемую корреляционной, в первой строке которой пере-
                                                                                   числим все значения случайной величины Y , в первом столбце — все
                                                                                   значения случайной величины   X , а на пересечении i -й строки и j-го
                              ⎛ z − xв ⎞     ⎛z −x ⎞
   Решение. Так как pi = Φ⎜ i          ⎟ − Φ⎜ i −1 в ⎟ , то в графе 4              столбца поместим число nij — количество пар ( ai , bi ) , встречающихся
                              ⎝ s ⎠          ⎝     s    ⎠
                                                                                   в выборке.
                      z −x
вычислены значения i −1       . При этом левая граница первого интер-                                          s
                         s                                                            Сумму элементов         ∑ nij i -й      строки обозначим              ni• . Аналогично,
                                                                                                              j =1
вала заменена на − ∞ , а правая граница последнего интервала заменена
                                                                                           l
                                         z −x                                      пусть ∑ nij = n• j . Ясно, что
                                                                                                                          l   s             l   s      s          l
на + ∞ . В графе 5 вычислены значения i −1       , в графе 6 - вероятно-                                                 ∑ ∑ nij = ∑ ∑ nij = ∑ n• j = ∑ ni• = n .
                                            s                                             i =1                           i =1 j =1         i =1 j =1   j           j

сти pi , в графе 7 – математические ожидания npi , а в графе 8 - взве-

                                      105                                                                                            106