Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 52 стр.

Вычислим вероятность попадания случайной величины            X на каждый          Отличие в применении критерия         χ2   в этом случае от ранее рассмот-
интервал:
                                                                                  ренного состоит в том, что у нас нет возможности сразу вычислить зна-
                  i                                                               чения вероятностей. Поэтому вначале находят оценки неизвестных па-
                        1     1              1
          pi =    ∫ 8 dx = 8 (i − i + 1) = 8 ,       i = 1,2,...,8 .
                                                                                  раметров. Например, для оценки параметра а, как известно, можно ис-
                 i =1
                                                                                  пользовать случайную величину X в и заменить а ее значением, т.е.
Поэтому npi = 18 144 = 18 при любом i . Так как npi ≥ 10 , то нет
необходимости объединять несколько интервалов. Результаты                         а = xв . В качестве оценки параметра σ 2 можно выбрать исправлен-
дальнейших вычислений сведены в табл. 5.1.
                                                                                  ную дисперсию S
                                                                                                    2
                                                                                                        и заменить    σ 2 ее значением s 2 . Таким образом,
                                                                Таблица 5.1
                                                                                                                                     ( x − xВ )2
Номер интер-                                              (mi − npi ) 2                                                 1        −
                 mi         npi         mi − npi                                                           р( x ) =          e          2s2        .
   вала                                                       npi                                                       2π s
     1           16          18              -2                 0.22
                                                                                     В качестве критерия также принимается случайная величина (5.69).
     2           17          18              -1                 0.06
                                                                                  Если гипотеза H 0 справедлива, то критерий имеет                     χ2   – распределение
     3           19          18              1                  0.06
                                                                                  с k степенями свободы. Однако количество степеней свободы критерия
     4           16          18              -2                 0.22              подсчитывается по формуле l − r − 1 , где r — количество параметров,
     5           24          18              6                  2.00              оцененных по выборке. В рассмотренном примере r = 2, т.к. по выборке
     6           19          18              1                  0.06              были оценены два параметра а и σ . В этом же примере вероятность
     7           17          18              -1                 0.06              pi попадания случайной величины X в интервале [z i −1 , z i ] находится
     8           16          18              -2                 0.22              с помощью функции Лапласа

    ∑          144          144              0                  2.9                                                              ⎛ z − xв ⎞    ⎛z −x ⎞
                                                                                        pi = P( z i −1 < N ( xв , s ) < z i ) = Φ⎜ i      ⎟ − Φ⎜ i −1 в ⎟ .
                                                                                                                                 ⎝ s ⎠         ⎝     s  ⎠
  Таким образом, числовое значение K наб = 2.90 . Для заданного
                                                                                    Пример 5.13. Группированный статистический ряд частот занесен в
уровня     значимости             α = 0.05 находим       γ = 1 − α = 0.95 ,
                                                                                  графы 2 и 3 табл. 5.2. По выборке объема n = 200 найдено xв ,
χ 2 = (0.95,7) = 14.1 .     Так как K наб < x пр ,α , то гипотеза H 0 (5.68)
принимается.                                                                      s 2 = 94.26 . При уровне значимости α = 0.02 проверить гипотезу о
   Обычной является ситуация, когда предполагается лишь, что рас-                 нормальности распределения генеральной совокупности.
пределение генеральной совокупности принадлежит некоторому классу
распределений. Например, генеральная совокупность распределена
нормально. В этой гипотезе не оговорены значения параметров а и           σ   .

                                       103                                                                                104