Составители:
Рубрика:
85 86
Таким образом, если гипотеза (5.41) верна, случайная величина
K
имеет нормальное распределение
)1,0(N
, т.е.
)1,0(
2
2
N
YX
K
mn
вв
y
x
=
+
−
=
σ
σ
. (5.44)
Теперь зададимся уровнем значимости
α
и перейдем к построению
критических областей и проверке гипотезы (5.41) для трех видов аль-
тернативной гипотезы
1
H . Заметим, что вычисление критических точек
критерия, распределенного по нормальному закону
)1,0(N , подробно
рассматривалось в пункте 5.2. Поэтому здесь ограничимся только опре-
делением соответствующих критических областей.
1. Альтернативная гипотеза имеет вид
)()(:
1
yMxMH > . (5.45)
В этом случае критическая область есть интервал
),(
,
+
∞
α
пр
x , где кри-
тическая точка
α
,пр
x определяется из условия
α
α
=
> )x),(N(P
,пр
10
(см. пункт 5.2). Критическая область приведена на рис.5.1,а. Подставляя
в (5.43) числовые значения, найдем значения случайных величин
вв
YX ,
, и значение критерия
наб
K . Если
α
,прнаб
xK > , то гипотезу
0
H (5.41) отвергаем и принимаем гипотезу
1
H (5.45). Поступая таким
образом, можно допустить ошибку первого рода с вероятностью
α
.
Пример 5.6. По двум независимым выборкам, извлеченных из нор-
мальных генеральных совокупностей, объемы которых равны
12
=
n
и
8=m , найдены средние значения 143=
в
x , 122
=
в
y . Генераль-
ные дисперсии известны
8)(,36)(
22
==== YDXD
yx
σσ
. При
уровне значимости
005.0=
α
проверить гипотезу
)()(:
0
YMXMH = при конкурирующей гипотезе
)()( YMXM > .
Решение. Критическую точку
α
,пр
x
находим по табл. П1 из усло-
вия
495.0)(
2
1
,
=−=Φ
α
α
пр
x . Получаем 58.2
,
=
α
пр
x . Наблюдае-
мое значение критерия
5.10
2
21122143
8
8
12
36
==
+
−
=
наб
K .
Так как
58.2>
наб
K , то гипотеза о равенстве генеральных средних
отвергается на уровне значимости
005.0
=
α
.
2. Альтернативная гипотеза
1
H имеет вид
)()(:
1
YMXMH
<
. (5.46)
В этом случае критическая область имеет вид
),(
,
α
лев
x
−
∞ , где крити-
ческая точка
α
,лев
x
находится из уравнения
α
α
=
<
))1,0((
,лев
xNP (см. пункт 5.2). Критическая область приве-
дена на рис. 5.1,б. Вычислим числовое значение
наб
K . Если оно попа-
дает в критическую область, то принимается гипотеза (5.46); в против-
ном случае – гипотеза
0
H (5.41).
3. Альтернативная гипотеза имеет вид
)y(M)x(M:H
≠
1
. (5.47)
В этом случае наибольшая мощность критерия достигается при двусто-
ронней критической области, состоящей из двух интервалов
),(
2/,
α
лев
x−∞ и ),(
2/,
+
∞
α
пр
x . Критические точки определяются из
условия (см.пункт 5.2)
2/))1.0((
2/,
α
α
=
<
лев
xNP
;
2/))1.0((
2/,
α
α
=
>
пр
xNP .
В силу симметрии плотности распределения
N(0,1) относительно нуля
имеет место
2/,2/,
αα
прлев
xx
−
=
. Если числовое значение критерия
наб
K , вычисленное по формуле (5.43), попадает в интервал
),(
2/,
α
лев
x−∞
или в
),(
2/,
+
∞
α
пр
x
, то принимаем гипотезу
1
H (5.47); если
2/,2/,
αα
прнаблев
xKx
<
<
, то — гипотезу
0
H (5.41).
Пример 5.7. По двум независимым выборкам, объемы которых рав-
ны
6
=
n , 5
=
m , извлеченным из нормальных генеральных совокуп-
Таким образом, если гипотеза (5.41) верна, случайная величина K 143 − 122 21
имеет нормальное распределение N (0,1) , т.е. K наб = = = 10.5 .
36 + 88 2
12
X в − Yв Так как K наб > 2.58 , то гипотеза о равенстве генеральных средних
K= = N (0,1) . (5.44)
σ x2 σ 2y отвергается на уровне значимости α = 0.005 .
n
+ m
2. Альтернативная гипотеза H 1 имеет вид
Теперь зададимся уровнем значимости α и перейдем к построению
критических областей и проверке гипотезы (5.41) для трех видов аль- H1 : M ( X ) < M (Y ) . (5.46)
тернативной гипотезы H1 . Заметим, что вычисление критических точек В этом случае критическая область имеет вид ( −∞, x лев ,α ) , где крити-
критерия, распределенного по нормальному закону N (0,1) , подробно
ческая точка x лев ,α находится из уравнения
рассматривалось в пункте 5.2. Поэтому здесь ограничимся только опре-
делением соответствующих критических областей. P( N (0,1) < x лев ,α ) = α (см. пункт 5.2). Критическая область приве-
1. Альтернативная гипотеза имеет вид
дена на рис. 5.1,б. Вычислим числовое значение K наб . Если оно попа-
H1 : M ( x ) > M ( y ) . (5.45) дает в критическую область, то принимается гипотеза (5.46); в против-
В этом случае критическая область есть интервал ( x пр ,α ,+∞ ) , где кри- ном случае – гипотеза H 0 (5.41).
3. Альтернативная гипотеза имеет вид
тическая точка xпр ,α определяется из условия P( N ( 0 ,1 ) > x пр ,α ) = α
H1 : M ( x ) ≠ M ( y ) . (5.47)
(см. пункт 5.2). Критическая область приведена на рис.5.1,а. Подставляя
в (5.43) числовые значения, найдем значения случайных величин В этом случае наибольшая мощность критерия достигается при двусто-
X в , Yв , и значение критерия K наб . Если K наб > xпр,α , то гипотезу ронней критической области, состоящей из двух интервалов
H 0 (5.41) отвергаем и принимаем гипотезу H1 (5.45). Поступая таким ( −∞, x лев ,α / 2 ) и ( xпр,α / 2 ,+∞ ) . Критические точки определяются из
образом, можно допустить ошибку первого рода с вероятностью α . условия (см.пункт 5.2)
Пример 5.6. По двум независимым выборкам, извлеченных из нор- P( N (0.1) < x лев ,α / 2 ) = α / 2 ;
мальных генеральных совокупностей, объемы которых равны n = 12
и m = 8 , найдены средние значения xв = 143 , y в = 122 . Генераль-
P ( N (0.1) > xпр,α / 2 ) = α / 2 .
ные дисперсии известны σ x2 = D( X ) = 36, σ 2y = D (Y ) = 8 . При В силу симметрии плотности распределения N(0,1) относительно нуля
имеет место x лев ,α / 2 = − x пр ,α / 2 . Если числовое значение критерия
уровне значимости α = 0.005 проверить гипотезу
H 0 : M ( X ) = M (Y ) при конкурирующей гипотезе K наб , вычисленное по формуле (5.43), попадает в интервал
M ( X ) > M (Y ) . ( −∞, x лев ,α / 2 ) или в ( xпр,α / 2 ,+∞ ) , то принимаем гипотезу
Решение. Критическую точку xпр ,α находим по табл. П1 из усло- H1 (5.47); если x лев ,α / 2 < K наб < xпр,α / 2 , то — гипотезу H 0 (5.41).
вия Φ ( xпр ,α ) = 1 − α = 0.495 . Получаем xпр ,α = 2.58 . Наблюдае- Пример 5.7. По двум независимым выборкам, объемы которых рав-
2 ны n = 6 , m = 5 , извлеченным из нормальных генеральных совокуп-
мое значение критерия
85 86
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
