Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 39 стр.

По формуле (5.20) вычисляем K наб = (77 − 80) ( 2 2 ) = −6.708 .                            Критическая область является правосторонней и определяется ин-
                                                                                         тервалом ( x пр ,α ,+∞ ) , где критическая точка x пр ,α находится из усло-
Так как число (−6.708) попадает в критическую область (конкретно в
                                                                                         вия (5.6), которое с учетом (5.31), можно записать в виде
интервал ( −∞,−2.086) , то гипотеза H 0 : a = 80 мин отвергается.
                                                                                                                    P ( χ n2−1 > xпр,α ) = α .
       5.3. Проверка гипотез о числовом значении дисперсии
            нормального распределения
                                                                                         В табл. П3 приведены квантили       χ 2 (γ , k ) , определяем соотношением
   Полагаем, что X является случайной величиной, имеющей нор-
мальное распределение N ( a, σ ) , причем числовое значение дисперсии                                           (                   )
                                                                                                              P χ k2 < χ 2 ( γ , k ) = γ = 1 − α .
                                                         n
σ2     неизвестно. Выборочная оценка S
                                                  2
                                                      = ∑ ( X i − X в ) 2 /(n − 1) да-   Следовательно, искомая критическая точка x пр ,α находится как
                                                        i =1
ет приближенное представление о          σ 2 . Используя эту оценку, проверим                                   xпр,α = χ 2 (1 − α , n − 1) .
гипотезу
                                                                                                                                          2     2
                                                                                         Подставив в (5.30) конкретные значения S , σ 0 , находим K наб . Если
                             H 0 : σ 2 = σ 02 ,                                 (5.29)
                                                                                         K наб > xпр,α , то гипотеза H 0 (5.29) отвергается и принимается гипо-
где   σ 02   – заранее заданное число.                                                   теза H 1 (5.32).
      В качестве критерия возьмем случайную величину                                        Случай 2. В качестве альтернативной гипотезы примем

                                         ( n − 1) S 2                                                         H1 : σ 2 < σ 02 .                                (5.33)
                                 K=                      .                      (5.30)
                                             σ 02                                           В этом случае критическая область является левосторонней, причем,
                                                                                         поскольку критерий (5.30) неотрицателен (почему?), область имеет вид
      При выполнении гипотезы (5.29) эта величина подчиняется                    χ2-     (0, x лев ,α ) , где точка x лев ,α находится из условия (5.7), которое с
распределению с числом степени свободы k = n − 1 , т.е.                                  учетом (5.31) можно записать в виде

                              ( n − 1) S 2                                                                            P( χ n2−1 < x лев ,α ) = α .
                        K=                   = χ n2−1 .                         (5.31)
                                 σ 02                                                    Обращаясь к табл. П3, находим
Зададимся уровнем значимости α и перейдем к построению критиче-
                                                                                                                    x лев ,α = χ 2 (α , n − 1) .
ских областей для проверки гипотезы H 0 (5.29) при следующих трех
альтернативных гипотезах H 1 .                                                                                                             2     2
                                                                                         Подставляя в (5.30) конкретные значения S , σ 0 , находим K наб . Если
   Случай 1. В качестве альтернативной гипотезы примем
                                                                                         K наб < x лев ,α , то гипотеза H 0 (5.29) отвергается и принимается гипо-
                        H1 : σ 2 > σ 02 .                                       (5.32)   теза H 1 (5.33).
                                                                                            Случай 3. В качестве альтернативной гипотезы примем

                                             77                                                                                   78