Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 37 стр.

    Э т а п 4 . Если нулевая и альтернативная гипотезы имеют соот-                              H 1 : a < 50 c , т.е. имеем случай 2 (см.(5.13), (5.14)) при a0 = 50 c .
ветственно вид (5.15), (5.16), а критерий определяется выражением
(5.12), то критическая область будет двусторонней: ее образуют интер-                           По изложенной схеме получаем x лев ,α = −1.65 . Подставляя в (5.11)
валы ( −∞, x лев ,α / 2 ) ( xпр ,α / 2 ,+∞ ) , где критические точки xпр ,α / 2 ,               исходные            данные         xв = 48 c, σ = 3, n = 9 ,     получаем
x лев ,α / 2 находятся из условия (5.8), которое, учитывая (5.12), запи-                        K наб =   48 − 50
                                                                                                                    = −2 . Так как число –2 попадает в критическую область
                                                                                                          3 9
шется так
                                                                                                ( −∞,−1.65) , то гипотеза H 0 : a = 50 с отвергается и принимается
                                         α                                       α
      P( N ( 0 ,1 ) < x лев ,α / 2 ) =       ; P( N ( 0 ,1 ) > x пр ,α / 2 ) =       . (5.17)   H1 : a < 50 c ;
                                         2                                       2
                                                                                                   б)     здесь     нулевая         H 0 : a = 49 с, альтернативная
                                                                                                                               гипотеза
Из рисунка 5.1. в) видно, что                                                                   H1 : a < 49 c . Снова имеет место случай 2 при a0 = 49 c . Так как
                                                                                                          48 − 50
                                                 (1 − α )                                       K наб =             = −1 не попадает в критическую область, то гипотеза
                               Φ ( xпр,α / 2 ) =          .                            (5.18)             3 9
                                                    2                                           H 0 : a = 49 с не отвергается и в качестве норматива времени
Воспользовавшись табл. П1, находим решение этого уравнения                                      изготавления детали берем 49 с.
xпр,α / 2 . В силу симметричности функции плотности распределения                                  Проверка гипотезы о числовом значении математического
                                                                                                ожидания при неизвестной дисперсии.
N (0,1) имеем                                                                                      В этом случае за основу проверки гипотезы

                              x лев ,α / 2 = − xпр,α / 2 .                                                                      H 0 : a = a0 ,                      (5.19)

Этап    5 . Находим числовое значение K наб критерия (5.11). Если                               где a0 – заранее заданное число, положен критерий
K наб попадает в интервал ( −∞, x лев ,α / 2 ) или ( xпр ,α / 2 ,+∞) , то ги-                                                      X в − a0
потеза H 0 (5.15) отвергается и принимаяется альтернативная (5.16). По-
                                                                                                                              K=            ,                       (5.20)
                                                                                                                                    S n
ступая таким образом, можно с вероятностью α допустить ошибку
первого рода.                                                                                   где X в , S – случайные величины, вычисляемые по формулам (2.9) и
   Пример 5.1. По результатам п = 9 замеров установлено, что среднее
                                                                                                (3.12). Этот критерий при выполнении гипотезы (5.19) имеет t -
время изготовления детали xв = 48 c . Предполагая, что время изго-                              распределение с числом степеней свободы k = n − 1 , т.е.
товления подчиняется нормальному распределению с дисперсией
                                                                                                                                   X в − a0
σ 2 = 9c 2 на уровне значимости α = 0.05 , решить:                                                                            K=            =T n −1 ,               (5.21)
   а) можно ли принять 50 с в качестве нормативного времени (матема-                                                                S n
тического ожидания) изготовления детали;
    б) можно ли принять за норматив 49 с?                                                       где T n −1 – случайная величина, подчиняющаяся распределению Стью-
   Решение:                                                                                     дента (см.(4.10)).
   а) по условию задачи нулевая гипотеза H 0 : a = 50 с. Так как                                   Задаваясь уровнем значимости α , построим критическую область
xв = 48 c , то в качестве альтернативной возьмем гипотезу                                       для проверки гипотезы (5.19) при следующих альтернативных гипоте-
                                                                                                зах.
                                                73                                                                                        74