Математическая статистика. Воскобойников Ю.Е - 35 стр.

ловек, т.е. S1000 = 120 . Подставляя это выборочное значение в фор-      ского ожидания а неизвестно, а числовое значение дисперсии σ из-
                                                                                                                                            2
мулу (5.4), получаем значение                                            вестно.
                                   −100                                     Выдвинем гипотезу H 0 о том, что неизвестный параметр а равен
                       K наб = 120
                                9.487
                                        = 2.108 .
                                                                         числу a0 . Возможны три случая: 1) параметр а равен числу a1 , кото-
  Правосторонняя критическая точка ранее была определена как             рое больше числа a0 (т.е. a > a0 ); 2) параметр а равен числу a1 , ко-
xпр ,α / 2 = 2.58 . Так как 2.108 < 2.58, то можно принять гипотезу
                                                                         торое меньше (т.е a < a0 ); 3) параметр а равен числу a1 , которое не
H 0 : p1 = p0 , а полученные расхождения между теоретической веро-
                                                                         равно a0 (т.е. a ≠ a0 ). Для каждого из этих случаев рассмотрим этапы
ятностью p0 = 0.1 и наблюдаемой частностью 0.120 считать допусти-
                                                                         проверки гипотезы H 0 , приведенные в предыдущем пункте.
мыми на уровне значимости α = 0.005 .
                                                                            Случай 1.
   Если бы количество человек с признаками заболевания R составило
                                                                            Э т а п 1 . Сформулируем нулевую гипотезу
130 (из 1000 обследованных), то K наб = 130 −100 = 3.162 . В этом слу-
                                          9.487                                                    H 0 : a = a0                              (5.9)
чае случайная величина К приняла значение из критической области,
т.е. произошло событие K > xпр ,α / 2 , которое практически невозмож-    и альтернативную

но, если гипотеза H 0 справедлива. Поэтому следует отвергнуть гипо-                               H1 : a = a1 > a0 .                        (5.10)

тезу H 0 в пользу альтернативной гипотезы H 0 : p1 > p0 .                Э т а п 2 . Зададимся уровнем значимости α .
                                                                         Э т а п 3 . В качестве критерия возьмем величину
    5.2. Проверка гипотезы о числовом значении                                                          X в − a0
         математического ожидания нормального                                                     K=             ,                          (5.11)
         распределения                                                                                  σ n
                                                                         значение которой зависит от выборочных данных (почему?), является
                                                                         случайной величиной и при выполнении гипотезы (5.9) подчиняется
   Полагаем, что Х является случайной величиной, имеющей нормаль-
                                                                         нормальному распределению N(0,1), т.е.
ное распределение с параметрами a и σ , т.е. X = N ( a, σ ) , причем
числовое значение а неизвестно.                                                                X в − a0
   Дать точный ответ на вопрос, каково численное значение неизвест-
                                                                                          K=            = N (0,1) .                         (5.12)
                                                                                               σ n
ного параметра а по выборочной совокупности нельзя. Поэтому посту-
пают следующим образом. Полагая, что наблюдения X 1 , X 2 ,..., X n      Э т а п 4 . Построим критическую область      ω , т.е. область таких зна-
                                                                         чений критерия К, при которых гипотеза H 0 отвергается. Если нулевая
независимы, вычисляют значение выборочной оценки X в , которое да-
                                                                         и альтернативная гипотезы имеют вид (5.9), (5.10) соответственно, а
ет приближенные представления об a . Затем приступают к проверке
                                                                         критерий (5.11) — вид K = N (0,1) , то критическая область будет пра-
гипотез о числовых значениях неизвестного параметра а.
                                                                         восторонней: ее образует интервал ( x пр ,α ,+∞ ) , где xпр ,α определя-
   Проверка гипотезы о числовом значении математического ожи-
дания при известной дисперсии.                                           ется из условия (5.6), которое с учетом (5.12) записывается как
   Предполагается, что X = N ( a, σ ) , причем значение математиче-                             P( N (0,1) > xпр,α ) = α .
                                   69                                                                         70