Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

21
♦Пример 2.4. Построить выборочную функцию распределе-
ния по наблюдаемым данным, приведенным в примере 2.1.
Решение. Используя соответствующий этим данным дискрет-
ный вариационный ряд (см. табл. 2.1), вычислим значения
)(
*
xF
n
по формуле (2.6) и занесем их в табл. 2.3.
Таблица 2.3
x
)(
*
60
xF
x ≤ 1
0
0 < x ≤ 1
60
8
1
=
ω
1 < x ≤ 2
60
25
21
=+
ωω
2 < x ≤ 3
60
41
321
=++
ωωω
3 < x ≤ 4
60
51
4321
=+++
ωωωω
4 < x ≤ 5
60
57
54321
=++++
ωωωωω
5 < x ≤ 7
60
59
654321
=+++++
ωωωωωω
x > 7
1
60
60
7654321
==++++++
ωωωωωωω
Из графика )(
*
60
xF (рис. 2.1) видно, что )(
*
60
xF удовлетворя-
ет свойствам (2.5). ☻
Задача 2.1. Построить выборочную функцию распределения
по наблюдаемым данным, приведенным в примере 2.3.
Напомним, что
)(
*
xF
n
равна относительной частоте появле-
ния события
}{ xXA
<
=
и, следовательно, при любом значении
x
величина )(
*
xF
n
является случайной. Тогда конкретной выбор-
ке
12
( , ,..., )
n
x
xxобъема n соответствует функция распределения
)(
*
xF
n
, которая в силу своей случайности будет отличаться от
22
)(
*
xF
n
, построенной по другой выборке из той же генеральной со-
вокупности.
x
F
*
60
(x)
Рис. 2.1. График выборочной функции распределения
(пример 2.4)
Возникает вопрос: зачем нужна такая характеристика, меняю-
щаяся от выборки к выборке? Ответ получаем на основе следую-
щих рассуждений.
По теореме Бернулли относительная частота появления собы-
тия
A
в n независимых опытах сходится по вероятности к вероят-
ности
)( xXP
<
этого события при увеличении n . Следовательно,
при больших объемах выборки выборочная функция распределе-
ния
)(
*
xF
n
близка к теоретической функции )(xF . Точнее, имеет
место следующая теорема.
Теорема В.И. Гливенко. Для любого действительного числа
x
и любого 0>
ε
0))()((lim
*
=>−
∞→
ε
xFxFP
n
n
.
Таким образом, по функции
)(
*
xF
n
мы можем получить при-
ближенно функцию
)(xF , т.е. функция )(
*
xF
n
является оценкой
)(xF . 
    ♦Пример 2.4. Построить выборочную функцию распределе-                  Fn* ( x ) , построенной по другой выборке из той же генеральной со-
ния по наблюдаемым данным, приведенным в примере 2.1.
    Решение. Используя соответствующий этим данным дискрет-                вокупности.

ный вариационный ряд (см. табл. 2.1), вычислим значения Fn* ( x )                        F60* (x)
по формуле (2.6) и занесем их в табл. 2.3.
                                                    Таблица 2.3
                                              *
        x                                    F60 ( x)
      x≤1         0

    07          ω1 + ω 2 + ω 3 + ω 4 + ω 5 + ω 6 + ω 7 =   60
                                                                   =1      щаяся от выборки к выборке? Ответ получаем на основе следую-
                                                              60           щих рассуждений.
                    *                              *                           По теореме Бернулли относительная частота появления собы-
     Из графика F60   ( x ) (рис. 2.1) видно, что F60 ( x ) удовлетворя-   тия A в n независимых опытах сходится по вероятности к вероят-
ет свойствам (2.5). ☻                                                      ности P( X < x ) этого события при увеличении n . Следовательно,
    Задача 2.1. Построить выборочную функцию распределения                 при больших объемах выборки выборочная функция распределе-
по наблюдаемым данным, приведенным в примере 2.3.                          ния Fn* ( x ) близка к теоретической функции F ( x ) . Точнее, имеет
    Напомним, что     Fn* ( x )   равна относительной частоте появле-      место следующая теорема.
ния события A = { X < x} и, следовательно, при любом значении                  Теорема В.И. Гливенко. Для любого действительного числа
                                                                           x и любого ε > 0
x величина Fn* ( x ) является случайной. Тогда конкретной выбор-
                                                                                                    lim P( Fn* ( x ) − F ( x ) > ε ) = 0 .
ке ( x1 , x2 ,..., xn ) объема n соответствует функция распределения                                n→∞
                                                                               Таким образом, по функции Fn* ( x ) мы можем получить при-
Fn* ( x ) , которая в силу своей случайности будет отличаться от
                                                                           ближенно функцию F (x ) , т.е. функция Fn* ( x ) является оценкой
                                                                           F ( x) .
                                       21                                                                         22

Страницы