Составители:
Рубрика:
25
вания и рассеивания наблюдаемых данных. Для этого используют-
ся так называемые числовые характеристики выборочной совокуп-
ности, из которых рассмотрим выборочное среднее и выборочную
дисперсию.
Выборочным средним
в
X
называется случайная величина, оп-
ределенная формулой
n
XXX
X
n
в
+++
=
...
21
. (2.9)
Так как конкретная выборка
n
xx ,...,
1
является реализацией
значений случайных величин
n
XX ,...,
1
, то среднее значение вы-
борки
n
xxx
x
n
в
+++
=
...
21
(2.10)
является одной из реализаций случайной величины
в
X . Другими
словами,
в
x есть одно из значений случайной величины
в
X .
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то для
вычисления выборочного среднего целесообразно применить одно
из следующих соотношений:
• для дискретного вариационного ряда
∑
==
=
∑
∑
=
=
m
i
i
i
n
nx
в
xx
m
i
i
m
i
i
i
1
)(
1
1
)(
ω
; (2.11)
• для интервального вариационного ряда
∑
==
=
∑
∑
=
=
m
i
ii
n
nz
в
zx
m
i
i
m
i
ii
1
*
1
1
*
ω
, (2.12)
где
i
ω
– частность (относительная частота), соответствующая i-й
варианте или i-му частичному интервалу;
*
i
z – середина i-го час-
тичного интервала, т.е.
26
*
1
()
, 1, 2,..., .
2
ii
i
zz
zim
+
+
==
Сравним математическое ожидание дискретной случайной ве-
личины Х, вычисляемое по формуле
∑
=
=
m
i
ii
pxXM
1
)( , (2.13)
и значение выборочного среднего, определяемое (2.11). Прежде
всего, очевидна их внешняя схожесть. Однако в формуле (2.13)
i
x – возможные значения случайной величины, а
i
p – вероятно-
сти. В формуле (2.11)
)(i
x – варианты случайной величины, полу-
ченные в результате наблюдений,
i
ω
– их относительная частота.
Далее, математическое ожидание не является случайной величи-
ной, а выборочное среднее – случайная величина, значение кото-
рой меняется от выборки к выборке. Несмотря на это, как будет
показано ниже, выборочное среднее при определенных условиях
выступает как "хорошая" оценка математического ожидания.
♦ Пример 2.6. Вычислим значение выборочного среднего по
выборке примера 2.1.
Решение. Используя дискретный вариационный ряд (см.
табл. 2.1) и соотношение (2.1), имеем
027543210
60
1
60
2
60
6
60
10
60
16
60
17
60
8
.x
в
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
. ☻
Так как значение выборочного среднего есть выборочный ана-
лог математического ожидания, то имеет смысл ввести характери-
стику, которая бы оценивала величину рассеивания значений
n
xxx ,...,,
21
относительно
в
x , а именно
∑
=
−
=
n
i
вi
в
n
xx
d
1
2
)(
. (2.14)
Число
в
d является значением случайной величины
вания и рассеивания наблюдаемых данных. Для этого используют- ( zi + zi +1 )
ся так называемые числовые характеристики выборочной совокуп- zi* = , i = 1, 2,..., m.
2
ности, из которых рассмотрим выборочное среднее и выборочную
дисперсию. Сравним математическое ожидание дискретной случайной ве-
Выборочным средним X в называется случайная величина, оп- личины Х, вычисляемое по формуле
ределенная формулой m
X 1 + X 2 + ... + X n M ( X ) = ∑ xi pi , (2.13)
Xв = . (2.9) i =1
n
и значение выборочного среднего, определяемое (2.11). Прежде
Так как конкретная выборка x1 ,..., xn является реализацией
всего, очевидна их внешняя схожесть. Однако в формуле (2.13)
значений случайных величин X 1 ,..., X n , то среднее значение вы- xi – возможные значения случайной величины, а pi – вероятно-
борки
сти. В формуле (2.11) x (i ) – варианты случайной величины, полу-
x + x2 + ... + xn
xв = 1 (2.10) ченные в результате наблюдений, ω i – их относительная частота.
n
Далее, математическое ожидание не является случайной величи-
является одной из реализаций случайной величины X в . Другими ной, а выборочное среднее – случайная величина, значение кото-
словами, xв есть одно из значений случайной величины X в . рой меняется от выборки к выборке. Несмотря на это, как будет
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то для показано ниже, выборочное среднее при определенных условиях
вычисления выборочного среднего целесообразно применить одно выступает как "хорошая" оценка математического ожидания.
из следующих соотношений: ♦ Пример 2.6. Вычислим значение выборочного среднего по
выборке примера 2.1.
• для дискретного вариационного ряда Решение. Используя дискретный вариационный ряд (см.
m
∑ x ( i ) ni табл. 2.1) и соотношение (2.1), имеем
m
xв = i =1
m
= ∑ x ( i )ω i ; (2.11) 8 + 1 ⋅ 17 + 2 ⋅ 16 + 3 ⋅ 10 + 4 ⋅ 6 + 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 = 2.0 . ☻
xв = 0 ⋅ 60
∑ ni i =1 60 60 60 60 60 60
i =1
Так как значение выборочного среднего есть выборочный ана-
• для интервального вариационного ряда лог математического ожидания, то имеет смысл ввести характери-
стику, которая бы оценивала величину рассеивания значений
m
∑ z i* ni m x1 , x2 ,..., xn относительно xв , а именно
xв = i =1
m
= ∑ ω i zi* , (2.12)
∑ ni i =1 n ( x i − xв ) 2
i =1 dв = ∑ . (2.14)
i =1 n
где ω i – частность (относительная частота), соответствующая i-й
Число d в является значением случайной величины
варианте или i-му частичному интервалу; zi* – середина i-го час-
тичного интервала, т.е.
25 26
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
