Составители:
Рубрика:
23
В качестве оценки плотности распределения вероятности не-
прерывной случайной величины используют гистограмму отно-
сительных частот.
Гистограммой относительных частот называется система пря-
моугольников, каждый из которых основанием имеет i-й интервал
интервального вариационного ряда; площадь, равную относитель-
ной частоте
i
ω
, а высота
i
y определяется по формуле
, 1,2,...,
i
i
i
yim
h
ω
== ,
где
iii
zzh
−
=
+1
– длина i-го частичного интервала. Если
длина частичных интервалов одинакова, то hh
i
=
(см. (2.2), (2.3)).
Очевидно, что сумма площадей всех прямоугольников равна 1
(докажите это свойство).
Площадь прямоугольника
i
ω
равна относительной частоте
попадания элементов выборочной совокупности объема
n на i-й
интервал, т.е.
)(
1
*
+
<≤=
iini
zXz
ωω
.
С другой стороны, если
)(xpy = – плотность вероятности
случайной величины
X
, то вероятность
)(
1+
<≤=
iii
zXzPp
по теореме Бернулли близка при большом значении
n к отно-
сительной частоте.
Поэтому значение
i
ω
близко к
∫
+
=<≤=
+
1
)()(
1
i
i
z
z
iii
dxxpzXzPp . (2.7)
Пусть
i
y – высота i-го прямоугольника. По теореме о среднем
интеграл, выражающий вероятность в формуле (2.7), можно запи-
сать в виде
1
1
() ( ) ( )
i
i
z
iiii
z
p
pxdx z z pu
+
+
==−⋅
∫
, (2.8)
24
где
i
u – некоторое число из промежутка ),[
1−ii
zz . Так как
iiii
yzz )(
1
−
=
+
ω
, то значения
i
y и )(
i
up близки друг к другу.
Практически это означает, что график плотности распределения
генеральной совокупности
X
проходит вблизи верхних границ
прямоугольников, образующих гистограмму. Поэтому при боль-
ших объемах выборок и удачном выборе длины частичных интер-
валов гистограмма напоминает график плотности распределения
)(xp
.
♦Пример 2.5. Построим гистограмму относительных частот
выборочной совокупности из примера 2.3.
Решение. Используя интервальный вариационный ряд (см.
табл. 2.2), находим высоты
i
y по формуле 2/
ii
y
ω
=
. График по-
строенной гистограммы приведен на рис. 2.2. Здесь же штриховой
линией отмечен предполагаемый график неизвестной плотности
)(xp . ☻
Рис. 2.2. График гистограммы частностей (пример 2.5)
2.5. Выборочное среднее и выборочная дисперсия
Рассмотренная выборочная функция распределения и гисто-
грамма позволяют делать выводы о закономерностях исследуемого
массового явления. Однако они неудобны для описания группиро-
х
у
i
0.10
0.05
В качестве оценки плотности распределения вероятности не- где ui – некоторое число из промежутка [ zi , zi −1 ) . Так как
прерывной случайной величины используют гистограмму отно-
сительных частот.
ω i = ( zi +1 − zi ) yi , то значения yi и p(u i ) близки друг к другу.
Гистограммой относительных частот называется система пря- Практически это означает, что график плотности распределения
моугольников, каждый из которых основанием имеет i-й интервал генеральной совокупности X проходит вблизи верхних границ
интервального вариационного ряда; площадь, равную относитель- прямоугольников, образующих гистограмму. Поэтому при боль-
ной частоте ω i , а высота yi определяется по формуле ших объемах выборок и удачном выборе длины частичных интер-
валов гистограмма напоминает график плотности распределения
ωi p( x ) .
yi = , i = 1, 2,..., m ,
hi
♦Пример 2.5. Построим гистограмму относительных частот
где hi = zi +1 − zi – длина i-го частичного интервала. Если выборочной совокупности из примера 2.3.
длина частичных интервалов одинакова, то hi = h (см. (2.2), (2.3)).
Решение. Используя интервальный вариационный ряд (см.
Очевидно, что сумма площадей всех прямоугольников равна 1 табл. 2.2), находим высоты yi по формуле yi = ω i / 2 . График по-
(докажите это свойство).
строенной гистограммы приведен на рис. 2.2. Здесь же штриховой
Площадь прямоугольника ω i равна относительной частоте
линией отмечен предполагаемый график неизвестной плотности
попадания элементов выборочной совокупности объема n на i-й p(x ) . ☻
интервал, т.е.
ω i = ω n* ( zi ≤ X < zi +1 ) . уi
С другой стороны, если y = p (x ) – плотность вероятности
случайной величины X , то вероятность
0.10
pi = P( zi ≤ X < zi +1 )
по теореме Бернулли близка при большом значении n к отно-
0.05
сительной частоте.
Поэтому значение ω i близко к
z i +1
х
pi = P( zi ≤ X < zi +1 ) = ∫ p( x )dx . (2.7)
zi
Пусть yi – высота i-го прямоугольника. По теореме о среднем Рис. 2.2. График гистограммы частностей (пример 2.5)
интеграл, выражающий вероятность в формуле (2.7), можно запи-
сать в виде 2.5. Выборочное среднее и выборочная дисперсия
zi +1
Рассмотренная выборочная функция распределения и гисто-
pi = ∫
zi
p( x)dx = ( zi +1 − zi ) ⋅ p(ui ) , (2.8)
грамма позволяют делать выводы о закономерностях исследуемого
массового явления. Однако они неудобны для описания группиро-
23 24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
