Составители:
Рубрика:
19
20.3 15.4 17.2 19.2 23.3 18.1 21.9
15.3 16.8 13.2 20.4 16.5 19.7 20.5
14.3 20.1 16.8 14.7 20.8 19.5 15.3
19.3 17.8 16.2 15.7 22.8 21.9 12.5
10.1 21.1 18.3 14.7 14.5 18.1 18.4
13.9 19.8 18.5 20.2 23.8 16.7 20.4
19.5 17.2 19.6 17.8 21.3 17.5 19.4
17.8 13.5 17.8 11.8 18.6 19.1
Необходимо построить интервальный вариационный ряд, со-
стоящий из семи интервалов.
Решение. Так как наибольшая варианта равна 23.8, а наимень-
шая 10.1, то вся выборка попадает в интервал (10,24). Мы расши-
рили интервал (10.1,23.8) для удобства вычислений. Длина каждо-
го частичного интервала равна
24 10
2
7
−
=
. Получаем следующие
семь интервалов:
[10,12);[12,14);[14,16);[16,18);[18,20);[20,22);[22;24),
а соответствующий интервальный вариационный ряд представлен
в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Х
10–12 12–14 14–16 16–18 18–20 20–22 22–24
i
ω
2
55
4
55
8
55
12
55
15
55
11
55
3
55
☻
2.4. Выборочная функция распределения. Гистограмма
В теории вероятностей для характеристики распределения
случайной величины
X
служит функция распределения
)()( xXPxF <= ,
равная вероятности события
}{ xX < , где
x
– любое действитель-
ное число.
Одной из основных характеристик выборки является выбороч-
ная (эмпирическая) функция распределения
n
n
xF
x
n
=)(
*
, (2.4)
20
где
x
n – количество элементов выборки, меньших чем
x
. Други-
ми словами,
)(
*
xF
n
есть относительная частота появления события
}{ xXA
<
= в
n
независимых испытаниях. Главное различие ме-
жду
)(xF и )(
*
xF
n
состоит в том, что )(xF определяет вероят-
ность события
A
, а выборочная функция распределения )(
*
xF
n
–
относительную частоту этого события.
Из определения (2.4) имеем следующие свойства функции
)(
*
xF
n
:
1.
*
0()1
n
Fx
≤
≤ . (2.5)
2.
)(
*
xF
n
– неубывающая функция.
3.
.1)(;0)(
**
=∞=−∞
nn
FF
Напоминаем, что такими же свойствами обладает и функция
распределения
)(xF (вспомните эти свойства и сравните).
Функция
)(
*
xF
n
является "ступенчатой", имеются разрывы в
точках, которым соответствуют наблюдаемые значения вариантов.
Величина скачка равна относительной частоте варианта.
Аналитически
)(
*
xF
n
задается следующим соотношением:
(1)
1
*(1)()
1
()
0 при ;
() при ,1,2,...,;
1 при ,
i
ii
nj
j
m
xx
F
xxxxim
xx
ω
−
−
=
⎧
≤
⎪
⎪
=<≤=
⎨
⎪
⎪
>
⎩
∑
(2.6)
где
i
ω
– соответствующие относительные частоты, определяемые
выражением (2.1);
)(i
x – элементы вариационного ряда (варианты).
Замечание. В случае интервального вариационного ряда под
)(i
x понимается середина i-го частичного интервала.
Перед вычислением )(
*
xF
n
полезно построить дискретный
или интервальный вариационный ряд.
20.3 15.4 17.2 19.2 23.3 18.1 21.9 где n x – количество элементов выборки, меньших чем x . Други-
15.3 16.8 13.2 20.4 16.5 19.7 20.5
14.3 20.1 16.8 14.7 20.8 19.5 15.3 ми словами, Fn* ( x ) есть относительная частота появления события
19.3 17.8 16.2 15.7 22.8 21.9 12.5 A = { X < x} в n независимых испытаниях. Главное различие ме-
10.1 21.1 18.3 14.7 14.5 18.1 18.4
13.9 19.8 18.5 20.2 23.8 16.7 20.4 жду F ( x ) и Fn* ( x ) состоит в том, что F ( x ) определяет вероят-
19.5 17.2 19.6 17.8 21.3 17.5 19.4 ность события A , а выборочная функция распределения Fn* ( x ) –
17.8 13.5 17.8 11.8 18.6 19.1
Необходимо построить интервальный вариационный ряд, со- относительную частоту этого события.
стоящий из семи интервалов. Из определения (2.4) имеем следующие свойства функции
Решение. Так как наибольшая варианта равна 23.8, а наимень-
Fn* ( x ) :
шая 10.1, то вся выборка попадает в интервал (10,24). Мы расши-
рили интервал (10.1,23.8) для удобства вычислений. Длина каждо- 1. 0 ≤ Fn* ( x) ≤ 1 . (2.5)
го частичного интервала равна 24 − 10 = 2 . Получаем следующие 2. Fn* ( x ) – неубывающая функция.
7
семь интервалов: 3. Fn* ( −∞ ) = 0; Fn* ( ∞) = 1.
[10,12);[12,14);[14,16);[16,18);[18, 20);[20, 22);[22;24), Напоминаем, что такими же свойствами обладает и функция
а соответствующий интервальный вариационный ряд представлен распределения F ( x ) (вспомните эти свойства и сравните).
в табл. 2.2. Функция Fn* ( x ) является "ступенчатой", имеются разрывы в
Таблица 2.2
Х 10–12 12–14 14–16 16–18 18–20 20–22 22–24 точках, которым соответствуют наблюдаемые значения вариантов.
Величина скачка равна относительной частоте варианта.
ωi 2 4 8 12 15 11 3
55 55 55 55 55 55 55 ☻ Аналитически Fn* ( x ) задается следующим соотношением:
⎧0 при x ≤ x (1) ;
2.4. Выборочная функция распределения. Гистограмма ⎪ i −1
⎪
В теории вероятностей для характеристики распределения Fn ( x) = ⎨∑ ω j при x ( i −1) < x ≤ x ( i ) , i = 1, 2,..., m;
*
(2.6)
случайной величины X служит функция распределения ⎪ j =1
⎪1 при x > x ( m ) ,
F ( x ) = P( X < x ) , ⎩
где ω i – соответствующие относительные частоты, определяемые
равная вероятности события { X < x} , где x – любое действитель-
ное число. выражением (2.1); x (i ) – элементы вариационного ряда (варианты).
Одной из основных характеристик выборки является выбороч- Замечание. В случае интервального вариационного ряда под
ная (эмпирическая) функция распределения x (i ) понимается середина i-го частичного интервала.
nx
Fn* ( x ) = , (2.4) Перед вычислением Fn* ( x ) полезно построить дискретный
n
или интервальный вариационный ряд.
19 20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
