Составители:
Рубрика:
27
2
1
()
n
i в
в
i
XX
D
n
=
−
=
∑
, (2.15)
которую мы будем называть выборочной дисперсией.
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целе-
сообразно для вычислений
в
d вместо (2.14) использовать сле-
дующие соотношения:
• для дискретного вариационного ряда
()
() 2
2
1
1
()
()
i
m
i
в i
m
i
ввi
i
xxn
dxx
n
ω
=
=
−
==−
∑
∑
; (2.16)
• для интервального вариационного ряда
∑
∑
=
=
−=
−
=
m
i
iвi
m
i
iвi
в
xz
n
nxz
d
1
2*
1
2*
)(
)(
ω
, (2.17)
где
*
,
ii
z
ω
– те же, что и в формулах (2.11), (2.12).
Можно показать справедливость следующих выражений, яв-
ляющихся аналогами (2.14), (2.16), (2.17) соответственно:
()
22
1
1
()()
i
n
вв
i
dxx
n
=
=−
∑
; (2.18)
∑
=
−=
m
i
вiв
xxd
i
1
22
)()(
)(
ω
; (2.19)
∑
=
−=
m
i
вiiв
xzd
1
22*
)()(
ω
. (2.20)
Приведенные соотношения (2.18)–(2.20) оказываются более
удобными для программной реализации вычислений значения
в
d .
Однако если генеральная дисперсия
2
σ
существенно меньше
28
квадрата математического ожидания, т.е.
22
))(( xM<<
σ
, то из-за
ошибок округления при машинном счете по этим формулам воз-
можна ситуация
0
<
в
d . Тогда следует положить 0
=
в
d .
Сравним формулу (2.16) с формулой дисперсии дискретной
случайной величины
∑
=
−=
m
i
ii
pXMxXD
1
2
))(()( . (2.21)
Различие между этими формулами состоит в том, что: а) вели-
чина
)( XD
не случайна,
в
d – значение случайной величины, ко-
торое может меняться от выборки к выборке; б) в формуле (2.21)
i
x – возможные значения случайной величины
i
pX , – их вероят-
ности,
)( XM – математическое ожидание. В формуле (2.16)
)(i
x –
варианты случайной величины,
i
ω
– их относительные частоты, а
в
x – значения выборочного среднего. Несмотря на различия, меж-
ду этими двумя формулами много общего. Во-первых, обе они яв-
ляются мерой рассеивания. Во-вторых, кроме внешнего сходства
формул, соответствующие дисперсии обладают схожими свойст-
вами. В-третьих, как будет показано ниже, выборочная дисперсия
при определенных условиях является хорошей оценкой для гене-
ральной
дисперсии )( XD .
♦ Пример 2.7. Необходимо вычислить значение выборочной
дисперсии по выборке примера 2.1.
Решение. Воспользуемся формулой (2.19). Первоначально, ис-
пользуя дискретный вариационный ряд (см. табл. 2.1), вычислим
() 2
7
8171610 6
21
60 60 60 60 60 60 60
1
( ) 0 1 4 9 16 25 49 6.09
i
i
i
x
ω
=
=⋅ +⋅ +⋅ +⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
∑
. (2.22)
Так как значение
в
x было вычислено в примере 2.6 ( 0.2=
в
x ),
то
∑
=
=−=−=
7
1
22)(
09.20.409.6)()(
i
вi
i
в
xxd
ω
. ☻
n
( X i − X в )2 квадрата математического ожидания, т.е. σ 2 << ( M ( x )) 2 , то из-за
Dв = ∑ , (2.15)
i =1 n ошибок округления при машинном счете по этим формулам воз-
которую мы будем называть выборочной дисперсией. можна ситуация d в < 0 . Тогда следует положить d в = 0 .
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целе- Сравним формулу (2.16) с формулой дисперсии дискретной
сообразно для вычислений d в вместо (2.14) использовать сле- случайной величины
дующие соотношения: m
• для дискретного вариационного ряда
D( X ) = ∑ ( xi − M ( X )) 2 pi . (2.21)
i =1
m Различие между этими формулами состоит в том, что: а) вели-
∑ (x (i )
− xв ) 2 ni m чина D( X ) не случайна, d в – значение случайной величины, ко-
dв = i =1
= ∑ ( x ( i ) − xв ) 2 ωi ; (2.16)
торое может меняться от выборки к выборке; б) в формуле (2.21)
n i =1
xi – возможные значения случайной величины X , pi – их вероят-
• для интервального вариационного ряда
ности, M ( X ) – математическое ожидание. В формуле (2.16) x (i ) –
m
* 2
∑ ( z i − x в ) ni m
варианты случайной величины, ω i – их относительные частоты, а
i =1
dв = = ∑ ( zi* 2
− xв ) ω i , (2.17) xв – значения выборочного среднего. Несмотря на различия, меж-
n i =1
ду этими двумя формулами много общего. Во-первых, обе они яв-
где ω i , zi* –
те же, что и в формулах (2.11), (2.12). ляются мерой рассеивания. Во-вторых, кроме внешнего сходства
Можно показать справедливость следующих выражений, яв- формул, соответствующие дисперсии обладают схожими свойст-
ляющихся аналогами (2.14), (2.16), (2.17) соответственно: вами. В-третьих, как будет показано ниже, выборочная дисперсия
при определенных условиях является хорошей оценкой для гене-
1 n (i) 2 ральной дисперсии D( X ) .
dв = ∑ ( x ) − ( xв )2 ;
n i =1
(2.18)
♦ Пример 2.7. Необходимо вычислить значение выборочной
дисперсии по выборке примера 2.1.
m Решение. Воспользуемся формулой (2.19). Первоначально, ис-
d в = ∑ ( x ( i ) ) 2 ω i − ( xв ) 2 ; (2.19) пользуя дискретный вариационный ряд (см. табл. 2.1), вычислим
i =1
7
m ∑(x(i) )2ωi = 0⋅ 608 +1⋅ 1760 + 4⋅ 1660 +9⋅ 1060 +16⋅ 606 + 25⋅ 602 + 49⋅ 601 = 6.09 . (2.22)
d в = ∑ ( zi* ) 2 ω i − ( xв ) 2 . (2.20) i=1
i =1 Так как значение xв было вычислено в примере 2.6 ( xв = 2.0 ),
Приведенные соотношения (2.18)–(2.20) оказываются более то
удобными для программной реализации вычислений значения d в . 7
d в = ∑ ( x ( i ) ) 2 ω i − ( xв ) 2 = 6.09 − 4.0 = 2.09 . ☻
Однако если генеральная дисперсия σ 2 существенно меньше i =1
27 28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
