Составители:
Рубрика:
73
называется распределением
χ
2
с п степенями свободы, а сама ве-
личина
2
χ
– случайной величиной
χ
2
с п степенями свободы.
Заметим, что количество степеней свободы п является единст-
венным параметром
χ
2
-распределения и значения
2
χ
неотрица-
тельны, т.е.
0)0(
2
=<
n
P
χ
.
Рис. 4.1. К определению квантилей случайной величины
Определим математическое ожидание величины
2
χ
. По опре-
делению (4.2)
имеем
[
]
∑∑∑
===
+==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
i
n
i
iii
n
i
in
NMNDNMNMM
11
22
1
22
)()()()(
χ
,
так как
)()()(
22
XMXMXD −=
. Но 0)(,1)(
=
=
ii
NMND , а зна-
чит,
nM
n
=)(
2
χ
. Нетрудно вычислить и дисперсию случайной ве-
p(x)
d
0.1
x
а
p(x)
d
0.9
x
б
74
личины
2
n
χ
. Так как случайные величины
22
1
,...,
n
NN независимы, то
22 42
111
() () () ()
n
DnDNnMNMN
χ
⎡
⎤
== −
⎣
⎦
. (4.3)
Плотность распределения случайной величины N
1
равна
2
2
2
1
)(
x
exp
−
=
π
, значит,
3
2
1
)()(
2
2
444
1
===
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
x
exdxxpxNM
π
.
Последний интеграл вычисляется методом интегрирования по
частям. Далее, так как
1)(
2
1
=NM , то nnD
n
2)13()(
2
=−=
χ
. Та-
ким образом,
χ
2
-распределение с п степенями свободы имеет сле-
дующие числовые характеристики:
nDnM
nn
2][;][
22
==
χχ
. (4.4)
Согласно центральной предельной теореме, если случайные
величины
22
2
2
1
,...,,
n
NNN независимы, одинаково распределены и
имеют конечные дисперсии, то последовательность
22
1
2
...
nn
NN ++=
χ
асимптотически нормальна. Другими словами,
при больших значениях п распределение случайной величины
2
n
χ
близко к нормальному распределению с параметрами
nna 2,
2
==
σ
. Однако при малых значениях п функция плотно-
сти случайной величины
2
n
χ
значительно отличается от кривой
Гаусса.
На рис. 4.2 показаны плотности распределения р(x) случайной
величины
2
n
χ
при 6,2
=
=
nn и 20
=
n . Видно, что при увеличе-
нии
n плотность р(x) "приближается" к плотности нормального рас-
пределения.
называется распределением χ с п степенями свободы, а сама ве-
2
личины χ n2 . Так как случайные величины N12 ,..., N n2 независимы, то
личина χ 2 – случайной величиной χ с п степенями свободы.
2
D( χ n ) = nD( N1 ) = n ⎡⎣ M ( N1 ) − M ( N1 ) ⎤⎦ .
2 2 4 2
(4.3)
Заметим, что количество степеней свободы п является единст-
венным параметром χ -распределения и значения χ 2 неотрица-
2 Плотность распределения случайной величины N1 равна
2
− x2
тельны, т.е. P ( χ n2 < 0) = 0 .
p( x) = 1
2π
e , значит,
а p(x) ∞ ∞
1 2
M ( N ) = ∫ x p( x)dx = ∫x e
− x2
1
4 4 4
= 3.
−∞ 2π −∞
Последний интеграл вычисляется методом интегрирования по
частям. Далее, так как M ( N12 ) = 1 , то D( χ n2 ) = n(3 − 1) = 2n . Та-
ким образом, χ -распределение с п степенями свободы имеет сле-
2
дующие числовые характеристики:
d0.1 x M [ χ n2 ] = n; D[ χ n2 ] = 2n .
(4.4)
p(x) Согласно центральной предельной теореме, если случайные
б величины N12 , N 22 ,..., N n2 независимы, одинаково распределены и
имеют конечные дисперсии, то последовательность
χ n2 = N12 + ... + N n2 асимптотически нормальна. Другими словами,
при больших значениях п распределение случайной величины χ n2
близко к нормальному распределению с параметрами
d0.9 x a = n, σ 2 = 2n . Однако при малых значениях п функция плотно-
Рис. 4.1. К определению квантилей случайной величины сти случайной величины χ n2 значительно отличается от кривой
Гаусса.
Определим математическое ожидание величины χ 2 . По опре- На рис. 4.2 показаны плотности распределения р(x) случайной
делению (4.2) имеем величины χ n2 при n = 2, n = 6 и n = 20 . Видно, что при увеличе-
нии n плотность р(x) "приближается" к плотности нормального рас-
⎛ n ⎞ n
[
n
]
M ( χ n2 ) = M ⎜ ∑ N i2 ⎟ = ∑ M ( N i2 ) = ∑ D( N i ) + M 2 ( N i ) , пределения.
⎝ i =1 ⎠ i =1 i =1
так как D( X ) = M ( X ) − M ( X ) . Но D( N i ) = 1, M ( N i ) = 0 , а зна-
2 2
чит, M ( χ n2 ) = n . Нетрудно вычислить и дисперсию случайной ве-
73 74
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
