Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 37 стр.

          р(x)                                                        свободы. Плотность вероятности случайной величины Tn имеет
                                                                                                − n2+1
                                                                                  ⎛    x 2 ⎞⎟
                                                                      вид pn = Bn ⎜1 +                   , где Bn – некоторая константа, удовле-
                      n=2                   n = 20                                ⎜    n ⎟⎠
                                                                                  ⎝
                                                                                                                      ∞
                            n=6                                       творяющая условию нормирования ∫ pn ( x )dx = 1 . При больших
                                                                                                                      −∞
                                                                      значениях п кривая pn (x ) близка к кривой нормального распреде-
                                                                      ления N (0,1) . Поэтому в практических расчетах при п > 30 часто
                                                        x
                                                                      считают, что
                                                                                                                            2
                 Рис. 4.2. Плотность распределения χ2                                                                 1 − x2
                                                                                                         pn ( x ) =      e   .
                                                                                                                      2π
    Обратим внимание на одно замечательное свойство распреде-
ления χ n2 . Строго говоря, это свойство можно доказать, используя,   Заметим, что функция плотности pn (x ) симметрична относитель-
например, производящие функции. Свойство состоит в том, что           но оси ординат.

сумма независимых случайных величин χ n2 + χ m2
                                                также распреде-           Распределение Фишера (F-распределение). Пусть χ n2 и χ m
                                                                                                                                 2


лена по закону χ с ( n + m ) степенями свободы. Объясняется это
                2                                                     – независимые случайные величины, имеющие χ2-распределение с
                                                                      п и m степенями свободы соответственно. Распределение случай-
тем, что случайная величина χ n2 + χ m
                                     2
                                       представляется в виде сум-     ной величины
мы ( n + m ) квадратов случайных величин, независимых и нор-
                                                                                                            χ n2 n
мально распределенных с параметрами (0,1).                                                  Fn , m =                                       (4.6)
                                                                                                            χ m2 m
    Распределение Стьюдента (t-распределение). Пусть N (0,1)          называется F-распределением или распределением Фишера с п и m
– нормально распределенная случайная величина с параметрами           степенями свободы, а сама величина (4.6) – Fn , m величиной. Так
a = 0, σ = 1 , а χ n2 – независимая от N (0,1) случайная величина,
                                                                      как случайные величины χ n2 ≥ 0 и χ m
                                                                                                          2
                                                                                                            ≥ 0, то Fn, m ≥ 0 .
подчиняющаяся распределению χ2 с n степенями свободы. Тогда
распределение случайной величины                                           В дальнейшем мы часто будем ссылаться на следующую тео-
                                                                      рему о распределении выборочных характеристик X в и Dв , дока-
                              N (0,1) n                               занную Р. Фишером.
                       Tn =                                   (4.5)
                                  χ n2                                     Теорема 4.1 (о распределении выборочных характеристик).
                                                                      Если генеральная совокупность Х распределена по нормальному
называется t-распределением или распределением Стьюдента. Са-         закону с параметрами a и σ , то:
ма случайная величина (4.5) называется t-величиной с п степенями
                                    75                                                                           76